Dini-féle konvergenciakritérium forrásának megtekintése

A [[Fourier-sor]]ok konvergenciájára számos elégséges feltétel ismeretes. Ezek közül az egyik legegyszerűbb a következő:

''DINI-FÉLE KRITÉRIUM.'' Legyen <math>\varphi_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)</math>. Ha valamely <math>x</math>-re a

<center><math>\frac{\varphi_x(t)}{t} </math></center>

függvény a <math>t=0</math> pont környezetében <math>t</math>-nek integrálható függvénye (Lebesgue-értelemben), akkor

<center><math>s_n(x) \rarr f(x), (n \rarr \infty)</math></center>

''Bizonyítás.'' A Dirichlet-féle képletekből
<center><math>s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \varphi_x(t) \frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2 \sin\frac{1}{2}t} \, dt=</math></center>

<center><math>=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\varphi_x(t)}{t} \ \frac{t}{2 \sin\frac{1}{2}t} \cdot \sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t \, dt</math></center>

A <math>\frac{t}{2 \sin\frac{1}{2}t}</math> függvény a <math>\left[0, \pi\right]</math> zárt intervallumon folytonos, így korlátos, az <math>\frac{\varphi_x(t)}{t}</math> integrálható függvénnyel való szorzata is integrálható. A [[Riemann–Lebesgue lemma]] szerint tehát <math>n \rarr \infty</math> esetén, az integrál <math>0</math>-hoz tart.

A Dini-féle kritérium speciális eseteként adódik a [[Lipschitz-féle konvergenciakritérium]].

== Ajánlott irodalom ==

* Szőkefalvi-Nagy Béla: '''Valós függvények és függvénysorok (1954)'''.

{{DEFAULTSORT:Dinifelekonvergenciakriterium}}
[[Kategória:Fourier-analízis]]