Differenciálgeometria forrásának megtekintése

[[Fájl:Hyperbolic triangle.svg|bélyegkép|jobbra|250px|Egy [[hiperbolikus paraboloid]]ra (nyeregfelületre) vetített háromszög, és két divergáló [[hiperbolikus geometria#Nem metsző / párhuzamos vonalak|ultrapárhuzamos vonal]]]]
{{Matematika}}
A '''differenciálgeometria''' a [[matematika]] azon ága, amely a [[differenciálszámítás]], az [[integrál]]számítás és a [[lineáris algebra]] módszereinek segítségével tanulmányozza a [[geometria]] problémáit. A [[görbék differenciálgeometriája|sík- és térgörbék elmélete]], és a [[felületek differenciálgeometriája|felületek]] a háromdimenziós [[Euklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi térben]] alkották a [[18. század|18.]] és [[19. század]] során az alapot a differenciálgeometria fejlődésére.

A késő 19. századtól a differenciálgeometria egy, a [[differenciálható sokaság]]okon található geometriai struktúrákkal inkább általánosságban foglalkozó területté nőtte ki magát. A differenciálgeometria szoros kapcsolatban áll a [[differenciáltopológia|differenciáltopológiával]] és a [[differenciálegyenlet]]ek elméletének geometriai aspektusaival. A [[felületek differenciálgeometriája]] ezen területre jellemző sok kulcsfontosságú gondolatot és technikát foglal magában.

== Fejlődésének története ==
A differenciálgeometria a görbék és felszínek matematikai elemzésének eredményeként és azzal kapcsolatban adódott és fejlődött.<ref>http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Differential_geometry hivatkozással erre</ref> A görbék és felületek matematikai elemzése a [[számtan]]ban felbukkant egyes bosszantó és megválaszolatlan kérdések megválaszolására fejlődött ki, mint a komplex alakzatok és görbék, sorozatok és analitikai függvények közti összefüggések okai, Ezek a megválaszolatlan kérdések nagyobb, rejtett összefüggéseket jeleztek.

Amikor a görbék, a görbék által bezárt felületek és a görbéken levő pontok kvantitatívnak, és általában matematikai formákkal kapcsolatosnak találtattak, a görbék és felületek természetének hivatalos tanulmányozása 1795-ben [[Gaspard Monge#Munkássága|Monge]] értekezésével, és különösen [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ''Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores''-ban megjelent "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas" című cikkével<ref>'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas' (szó szerinti fordítása latinból: A görbült felszínek általános vizsgálatai), ''Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores'' (szó szerint, Jelen perspektívák, Göttingeni Királyi Tudományos Társaság). Volume VI, pp. 99–146. Egy fordítás a műnek A.M.Hiltebeitel és J.C.Morehead által, "General Investigations of Curved Surfaces" címmel 1965-ben jelent meg a Raven Press, New York-nál. Egy digitalizált változata elérhető itt http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/abr1255.0001.001 szabad letöltésre, nem kereskedelmi, személyes használatra. További információért felvehető a kapcsolat a könyvtárral. Szintúgy pillantást lehet vetni a [[Carl Friedrich Gauss#Írásai|Gauss művei]] című Wikipedia cikkre, az 1827-es évnél.</ref> 1827-ben saját jogú tudományterületté vált.

==Ágai==
===Riemann-geometria===
{{fő|Riemann-geometria}}

A Riemann-geometria a [[Riemann-sokaság]]okat tanulmányozza, a ''Riemann-metrikával'' rendelkező [[sima sokaság]]okat. Ez egy elképzelés a távolság kifejezésére egy, a tangens térben minden ponton meghatározott [[sima függvény|sima]] [[pozitív definit bilineáris forma|pozitív definit]] szimmetrikus [[bilineáris forma]] segítségével. A Riemann-geometria általánosítja az [[Euklideszi geometria|Euklideszi geometriát]] olyan terekre, amelyek nem szükségszerűen laposak, bár minden pontban infinitezimálisan, azaz a közelítés első rangjában hasonlítanak az [[Euklideszi tér (lineáris algebra)|Euklideszi terekre]]. A hosszúságon alapuló különböző elképzelések, mint a [[Görbe (matematika)|görbék]] [[ívhossz]]a, a sík régiók [[Terület (matematika)|terület]]e és a téridomok [[térfogat]]a mind rendelkeznek hasonlatosakkal a Riemann-geometriában. Egy függvény többváltozós [[differenciálszámítás]]ból származó [[iránymenti derivált]]jának elképzelése a Riemann-geometriában egy [[tenzor]] [[kovariáns derivált]]jának az elképzelésévé bővül. Az analízis sok elképzelése és technikája, valamint a differenciálegyenletek általánosításra kerültek a Riemann-sokaságok keretein belül.

Egy Riemann-sokaságok közötti távolságmegőrző [[diffeomorfizmus]]t [[izometria|izometriának]] hívunk. Ez az elképzelés meghatározható ''helyileg'' is, azaz pontok kicsi szomszédosságára. Bármely két szabályos görbe lokálisan izometrikus. Azonban [[Carl Friedrich Gauss]] [[Theorema egregium]]-a megmutatta, hogy felületek esetén egy lokális izometria léte a metrikáikra erős kompatibilitási feltételeket kényszerít rá: a [[Gauss-görbület]]eknek a megfelelő pontokon ugyanazoknak kell lenniük. Magasabb dimenziókban a [[Riemann-tenzor]] egy fontos pontonkénti, Riemann-sokasághoz társult invariáns, amely azt méri, milyen közel van ahhoz, hogy lapos legyen. A Riemann-sokaságok egy fontos osztálya a [[Riemann szimmetrikus tér|Riemann szimmetrikus terek]], amelyek görbülete nem feltétlenül állandó. Ezek a legközelebbi hasonlatosságok a "hagyományos" síkhoz és térhez az Euklideszi és [[nemeuklideszi geometria|nemeuklideszi geometriában]].

===Pszeudo-Riemann-geometria===
A [[pszeduo-Riemann-sokaság|pszeudo-Riemann-geometria]] általánosítja a Riemann-geometriát arra az esetre, amelyben a [[metrika tenzor]]nak nem kell [[definitség|pozitív definitnek]] lennie.
Az egyik különös esete ennek egy [[Lorentz-sokaság]], amely Einstein [[általános relativitáselmélet|gravitációról szóló általános relativitáselméletének]] az alapja.

===Finsler-geometria===
A [[Finsler-geometria]] vizsgálatának fő tárgya a ''Finsler-sokaság''. Ez egy [[Finsler-metrika|Finsler-metrikával]], azaz egy minden egyes tangens téren meghatározott [[Banach-norma|Banach-normával]] rendelkező differenciálható sokaság. A Riemann-sokaságok a sokkal általánosabb Finsler-sokaságok különleges esetei. A Finsler-struktúra az <math>M</math> sokaságon egy <math>F : TM \to [0,\infty)</math> függvény, melyre teljesül:
# <math> F(x, mv) = m F(x,v) \quad \forall (x,v)\in TM, \, m\geq 0</math>,
# <math>F</math> tetszőlegesen sokszor differenciálható a <math>TM \setminus \{0\}</math> halmazon,
# Az <math>F^2</math> bármely <math>v\in T_x M</math> vektorban értelmezett [[Hesse-mátrix]]a [[definitség|pozitív definit]].

===Szimplektikus geometria===
A [[szimplektikus geometria]] a [[szimplektikus sokaság]]ok vizsgálata. Egy '''majdnem szimplektikus sokaság''' egy minden egyes tangens téren [[sima függvény|simán változó]] nemelfajuló [[ferdén szimmetrikus mátrix|ferdén szimmetrikus]] [[bilineáris forma|bilineáris formával]], azaz egy ''szimplektikus formának'' hívott ''ω'' nemelfajuló [[differenciálforma|2-formával]] felszerelt differenciálható sokaság. A szimplektikus sokaság egy majdnem szimplektikus sokaság, amelyre a ''ω'' szimplektikus forma zárt, tehát d''ω'' = 0.

A két szimplektikus sokaság közti [[diffeomorfizmus]]t, amely megőrzi a szimplektikus formát, [[szimplektomorfizmus]]nak hívjuk. A nemelfajuló ferdén szimmetrikus bilineáris forma csak a páros dimenziós vektorterekben létezhet, így a szimplektikus sokaságoknak is szükségszerűen páros dimenziójuk van. Két dimenzióban a szimplektikus sokaság csak egy területformával felruházott [[felület (topológia)|felület]], és a szimplektomorfizmus egy területmegőrző diffeomorfizmus. Egy mechanikai rendszer [[fázistér|fázistere]] egy szimplektikus sokaság, és már hallgatólagosan megjelentek [[Joseph Louis Lagrange]] [[analitikus mechanika|analitikus mechanikáról]] szóló művében, és később [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carl Gustav Jacobi]] és [[William Rowan Hamilton]] [[Hamilton-mechanika|klasszikus mechanikai megfogalmazásaiban]].

Ellentétben a Riemann-geometriával, ahol a [[görbület]] szolgáltatja a Riemann-sokaságok egy helyi invariánsát, a [[Darboux-tétel]] azt állítja, hogy az összes szimplektikus sokaság lokálisan izomorf. Egy szimplektikus sokaság egyedüli invariánsai természetükben globálisak, és a szimplektikus geometriában a topológiai szempontok játszanak kitüntetett szerepet. A szimplektikus topológiában az első eredmény valószínűleg a [[Poincaré–Birkhoff-tétel]], amelyet [[Henri Poincaré]] sejtett meg, és később [[G.D. Birkhoff]] bizonyította 1912-ben. Azt állítja, hogy ha egy [[körgyűrű]] egy területmegőrző térképe mindegyik határoló összetevőt az ellenkező irányba csavarja, akkor a térképnek van legalább két rögzített pontja.<ref>Könnyű megmutatni, hogy a területmegőrző feltétel (vagy a csavarási feltétel) nem hagyható el. Megjegyzendő, ha valaki megpróbál kiterjeszteni egy ilyen tételt magasabb dimenziókba, azt tippelné, hogy egy bizonyos típusú térfogat-megőrző térképnek kell legyenek rögzített pontjai. Ez hamis azonban 3-nál nagyobb dimenziókban.</ref>

===Kontakt geometria===
{{fő|Kontakt geometria}}

A [[kontakt geometria]] a páratlan dimenziók bizonyos sokaságaival foglalkozik. Hasonló a szimplektikus geometriához, és ugyanúgy a klasszikus mechanikát hivatott leírni. Egy ''kontakt struktúra'' egy <math>(2n + 1)</math> – dimenziós <math>M</math> sokaságon egy <math>H</math> sima hipersíkmezővel van megadva a [[tangens nyaláb]]ban, ami a lehető legmesszebb áll egy differenciálható függvény szinthalmazával az <math>M</math>-en (a szakmai kifejezés a "teljesen nem integrálható tangens hipersík eloszlás"). Minden egyes <math>p</math> pont környezetében egy hipersík eloszlást egy sehol el nem tűnő <math>\alpha</math> [[differenciálforma|1-forma]] határoz meg, ami egy sehol el nem tűnő függvénnyel való szorzásig egyedi:

: <math> H_p = \ker\alpha_p\subset T_{p}M.</math>

Egy lokális 1-forma <math>M</math>-en egy ''kontakt forma'', ha a <math>H</math>-ra limitált [[külső derivált]]ja egy nemelfajuló 2-forma, és így a <math>H_p</math>-n minden egyes pontban egy szimplektikus struktúrát alkot. Ha a <math>H</math> eloszlás egy <math>\alpha</math> globális 1-formával meghatározható, akkor ez a forma akkor és csak akkor kontakt, ha a csúcsdimenziós forma

: <math>\alpha\wedge (d\alpha)^n</math>

egy [[térfogatforma]] <math>M</math>-en, azaz sehol el nem tűnik. A Darboux-tétel egy kontakt analógiája szerint minden kontakt struktúra egy páratlan dimenziós sokaságon lokálisan izomorf, és egy bizonyos lokális normálalakba hozható a koordináta-rendszer megfelelő választásával.

===Komplex és Kähler-geometria===
A ''komplex differenciálgeometria'' a [[komplex sokaság]]ok vizsgálata.
A [[majdnem komplex sokaság]] egy (1, 1) [[tenzor|típusú]] [[tenzor]]ral felruházott ''valódi'' <math>M</math> sokaság, azaz egy (''[[majdnem komplex struktúra|majdnem komplex struktúrának]]'' hívott) [[vektornyaláb|vektornyaláb endomorfizmus]]
:<math> J:TM\rightarrow TM </math>, úgy, hogy <math>J^2=-1. \,</math>

Ebből a meghatározásból következik, hogy egy majdnem komplex sokaság páros dimenziójú.

Egy majdnem komplex sokaságot akkor hívunk ''komplex''-nek, ha <math>N_J=0</math>, ahol <math>N_J</math> egy <math>J</math>-hez kapcsolódó (2, 1) típusú tenzor, amit [[Nijenhuis-tenzor]]nak hívnak (vagy néha ''torzió''-nak).
Egy majdnem komplex sokaság akkor és csak akkor komplex, ha megenged egy [[holomorf függvény|holomorf]] [[atlasz (topológia)|koordináta atlaszt]].
A ''[[Hermit-féle sokaság|majdnem Hermit-féle struktúra]]'' (vagy majdnem hermitikus struktúra) egy majdnem komplex ''J'' struktúrával van megadva, a ''g'' [[Riemann-metrika|Riemann-féle metrikával]] együtt, amely teljesíti a
:<math>g(JX,JY)=g(X,Y) \,</math>
kompatibilitási feltételt.

Egy majdnem Hermit-féle struktúra természetszerűleg egy [[differenciálforma|differenciál 2-formát]] határoz meg
:<math>\omega_{J,g}(X,Y):=g(JX,Y) \,</math>.

A következő két feltétel egyenértékű:

# <math> N_J=0\mbox{ ; }d\omega=0 \,</math>
# <math>\nabla J=0 \,</math>,

ahol <math>\nabla</math> a <math>g</math> [[Levi-Civita konnexió]]ja. Ebben az esetben a <math>(J, g)</math>-t egy ''[[Kähler-sokaság|Kähler-struktúrának]]'' hívjuk, és a Kähler-sokaság egy Kähler-struktúrával felruházott sokaság. A Kähler-sokaság egyszerre komplex és [[szimplektikus sokaság]]. A Kähler-sokaságok nagy osztálya (a [[Hodge-sokaság]]ok osztálya) az összes sima [[algebrai geometria|komplex projektív varietással]] van megadva.

===CR-geometria===
A [[CR-struktúra|CR-geometria]] a [[komplex sokaság]]okban levő tartományhatárok intrinzikus geometriájának a tanulmányozása.

===Differenciáltopológia===
A [[differenciáltopológia]] a metrika vagy szimplektikus forma nélküli (globális) geometriai invariánsok tanulmányozása.

A differenciáltopológia olyan természetes műveletekkel kezdődik, mint a természetes [[vektornyaláb]]ok [[Lie-derivált]]ja és a [[differenciálforma|formák]] [[külső derivált|de Rahm-differenciálja]]. A [[Lie-algebroid]]ok mellett a [[Courant-algebroid]]ok is kezdenek fontos szerepet játszani.

== Nyalábok és konnexiók ==
A [[vektornyaláb]]ok, a [[principális nyaláb]]ok és a [[konnexió]]k apparátusa rendkívül fontos szerepet játszik a modern differenciálgeometriában. Egy sima sokaság mindig rendelkezik egy természetes vektornyalábbal, a [[tangensnyaláb]]bal. Pongyolán fogalmazva, ez a struktúra önmagában csak a sokaság analízisének a kifejtésére elegendő, míg a mértanhoz ezen kívül még szükség van valami módra a tangensterek viszonyításához különböző pontokban, azaz egy [[párhuzamos transzport]] fogalmára. Egy fontos példát szolgáltatnak az [[affin konnexió]]k. Egy [[felület (topológia)|felület]] esetén az <math>\mathbb{R}^3</math>-ban, a tangensterek különböző pontokban a környező Euklideszi-tér által keletkeztetett természetes utankénti párhuzamosság felhasználásával azonosíthatók, amely tér metrika- és párhuzamosságdefiníciói jól ismertek. A Riemmann-geometriában a [[Levi-Civita-konnexió]] szolgál hasonló célt. (A Levi-Civita-konnexió az utankénti párhuzamosságot egy, a sokaságon megadott tetszőleges Riemann-metrikával kapcsolatban határozza meg.) Általánosabban, a differenciálgeometria kutatói a tereket egy vektornyaláb és egy olyan tetszőleges affin konnexió segítségével szemlélik, ami nem egy metrikával kapcsolatban van meghatározva. A fizikában a sokaság lehet a [[téridő|téridő kontinuum]], a nyalábok és konnexiók pedig különböző fizikai mezőknek felelhetnek meg.

== Belső és külső szemlélet ==

A 18. század elejétől egészen a közepéig a differenciálgeometriát ''extrinzikus'' (külső) nézőpontból vizsgálták: a [[Görbe (matematika)|görbéket]] és [[felszín (topológia)|felszíneket]] egy magasabb dimenziójú [[Euklideszi tér (lineáris algebra)|Euklideszi-térben]] fekvőnek tekintették (például egy felületet egy három dimenziós [[környező tér]]ben). A legegyszerűbb eredmények a [[görbék differenciálgeometriája|görbék differenciálgeometriájában]] és a [[felületek differenciálgeometriája|felületek differenciálgeometriájában]] találhatók. [[Georg Friedrich Bernhard Riemann|Riemann]] munkásságával kezdődően kifejlődött az ''intrinzikus'' (belső) nézőpont, amiben nem beszélhetünk a geometriai objektum "külső" mozgásáról, mert maga az objektum önálló módon adottként van értelmezve. Az alapvető eredmény itt Gauss [[theorema egregium]]-ja, azzal a hatással, hogy a [[Gauss-görbület]] egy belső invariáns.

Az intrinzikus nézőpont sokkal rugalmasabb, például a relativitáselméletben, ahol a téridő természetszerűleg nem vizsgálható külsőleg (mi lenne a "külseje"?). Azonban ennek ára van a technikai komplexitás terén: a [[görbület]] belső meghatározásai és [[konnexió]]i vizuálisan nehezebben elképzelhetővé válnak.

Ezen két nézőpont kibékíthető egymással, azaz az extrinzikus geometria az intrinzikushoz adott további struktúrának tekinthető. (Ld. a [[Nash beágyazási tétel]]t.) A [[geometriai számtan]] formalizmusában egy sokaság mind külső, mind belső geometriája jellemezhető egy [[Weingarten-leképezés]]nek nevezett egyszerű bivektor-értékű 1-formával.<ref>{{cite book |first=David |last=Hestenes |chapter=The Shape of Differential Geometry in Geometric Calculus |chapterurl=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/Shape%20in%20GC-2012.pdf |title=Guide to Geometric Algebra in Practice |editor-first=L. |editor-last=Dorst |editor2-first=J. |editor2-last=Lasenby |publisher=Springer Verlag |year=2011 |pages=393–410}} Elérhető egy tudományos előadás [http://staff.science.uva.nl/~leo/agacse2010/talks_world/Hestenes.pdf pdf]{{Halott link|url=http://staff.science.uva.nl/~leo/agacse2010/talks_world/Hestenes.pdf |date=2018-07 }} változata is a témáról</ref>

== Alkalmazásai ==
Itt található néhány példa, hogyan alkalmazható a differenciálgeometria a tudomány és matematika más területein.
* A [[fizika|fizikában]] négy felhasználást említünk meg:
** A differenciálgeometria az a nyelv, amelyen [[Albert Einstein|Einstein]] [[általános relativitáselmélet]]e kifejezésre került. Az elmélet szerint a világegyetem egy pszeudo-Riemann metrikával rendelkező sima sokaság, ahol a metrika leírja a [[téridő]] [[görbület]]ét. Ennek a görbületnek a megértése lényeges a [[műhold]]ak Föld körüli pályára helyezéséhez. A differenciálgeometria szintén nélkülözhetetlen a [[gravitációs lencse]] és a [[fekete lyuk]]ak vizsgálatánál.
** A [[differenciálforma|differenciálformák]] használatosak az [[elektromágnesség]] tanulmányozásában.
** A differenciálgeometriának megvannak az alkalmazásai mind a [[Lagrange-i mechanika]], mind a [[Hamilton-i mechanika]] területén. Különösen a [[szimplektikus sokaság]] használható fel a [[Hamilton rendszer]] vizsgálatánál.
** A Riemann-i geometriát és a kontakt geometriát használták a [[geometrotermodinamika]] formalizmusának a megalkotásánál, ami a [[termodinamika]] klasszikus egyensúlyában talált alkalmazást.
* A [[kémia|kémiában]] és a [[biofizika|biofizikában]] a különböző nyomás alatti sejtmembrán-struktúrák modellezésekor.
* A [[közgazdaságtan]]ban a differenciálgeometriának az [[ökonometria]] területén vannak alkalmazásai.<ref>{{cite book |editor-first=Paul |editor-last=Marriott |editor2-first=Mark |editor2-last=Salmon |title=Applications of Differential Geometry to Econometrics |url=https://archive.org/details/applicationsofdi0000unse_h8e6 |location= |publisher=Cambridge University Press |year=2000 |isbn=0-521-65116-6}}</ref>
* A [[mértani modellezés]] (ideértve a [[számítógépes grafika|számítógépes grafikát]]) és a [[számítógéppel segített geometriai tervezés]] a differenciálgeometriából származó gondolatokból merít.
* A [[mérnöki tudomány]]okban a differenciálgeometria a [[digitális jelfeldolgozás]] területén felmerülő problémák megoldásában alkalmazható.<ref>{{cite book |first=Jonathan H. |last=Manton |title=On the role of differential geometry in signal processing |year=2005 |doi=10.1109/ICASSP.2005.1416480}}</ref>
* Az [[irányítástechnika|irányítástechnikában]] a differenciálgeometria a nemlineáris vezérlők, különösen a [[geometriai vezérlés]] elemzésére használható<ref>{{cite book |first=Francesco |last=Bullo |first2=Andrew |last2=Lewis |title=Geometric Control of Mechanical Systems : Modeling, Analysis, and Design for Simple Mechanical Control Systems |location= |publisher=Springer-Verlag |year=2010 |isbn=978-1-4419-1968-7}}</ref>
* A [[valószínűségszámítás]]ban, a [[statisztika|statisztikában]] és az [[információelmélet]]ben a különböző struktúrák Riemann-sokaságként interpretálhatók, ami az [[információs geometria]] területét hozza létre, főleg a [[Fisher információs metrika|Fisher információs metrikán]] keresztül.
* A [[strukturális geológia|strukturális geológiában]] a differenciálgeometriát a geológiai struktúrák elemzésére és leírására használják.
* A [[számítógépes látás]]ban a differenciálgeometriát az alakzatok elemzésében használják.<ref>{{cite thesis |type=Ph.D. |date=May 2008 |first=Mario |last=Micheli |title=The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature |url=http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf |archivedate=June 4, 2011 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110604092900/http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf}}</ref>
* A [[képfeldolgozás]]ban a differenciálgeometriát a nem lapos felszínek adatainak feldolgozásánál és elemzésénél használják.<ref>{{cite thesis |type=Ph.D. |first=Anand A. |last=Joshi |title=Geometric Methods for Image Processing and Signal Analysis |date=August 2008 |url=http://users.loni.ucla.edu/~ajoshi/final_thesis.pdf}}</ref>
* [[Grigorij Jakovlevics Perelman|Grigorij Perelman]], a [[Ricci-áramlás]] technikáit felhasználó megoldása a [[Poincaré-sejtés]] esetén megmutatta a differenciálgeometriai megközelítés erejét a [[topológia]] kérdéseiben, és kiemelte fontos szerepét analitikai módszereiben.
* A [[vezetéknélküli|vezetéknélküli kommunikációban]] [[Grassmanni sokaság]]okat használunk a [[MIMO|többantennás]] rendszerekben a [[nyalábformálás]]hoz.<ref>{{cite journal |first=David J. |last=Love |first2=Robert W., Jr. |last2=Heath |title=Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems |journal=IEEE Transactions on Information Theory |volume=49 |issue=10 |date=October 2003 |pages=2735–2747 |doi=10.1109/TIT.2003.817466}}</ref>

== Irodalom ==
*{{cite book|title = Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds|author= Wolfgang Kühnel|edition = 2nd|year = 2002|isbn = 0-8218-3988-8}}
*{{cite book|title = The geometry of physics: an introduction|author= Theodore Frankel|edition = 2nd|year = 2004|isbn = 0-521-53927-7}}
*{{cite book|title = A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) | edition = 3rd|first = Michael | last = Spivak | year = 1999}}
*{{cite book |title = Differential Geometry of Curves and Surfaces|first = Manfredo|last = do Carmo|authorlink=Manfredo do Carmo | isbn = 0-13-212589-7 | year = 1976}} A differenciálgeometria tenzoranalízis nélküli klasszikus geometriai megközelítése.
*{{cite book |title = Differential Geometry |url = https://archive.org/details/differentialgeom0000krey |first = Erwin |last = Kreyszig | isbn = 0-486-66721-9 | year = 1991}} A differenciálgeometria egy jó, klasszikus geometriai megközelítése a tenzoreszköztárral együtt.
*{{cite book|title = Riemannian Geometry|first=Manfredo Perdigao | last = do Carmo | year = 1994}}
*{{cite book|title = Geometry from a Differentiable Viewpoint|url = https://archive.org/details/geometryfromdiff0000mccl|first = John |last = McCleary | year = 1994}}
*{{cite book|title = A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry|first = Ethan D.|last = Bloch | year = 1996}}
*{{cite book|title = Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica|edition = 2nd|first = Alfred|last = Gray| year = 1998}}
*{{cite book|title = Applied Differential Geometry|url = https://archive.org/details/applieddifferent0000burk|first = William L.|last = Burke|year = 1985}}
*{{cite book|title = Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis| first = Bart M. |last = ter Haar Romeny |isbn = 1-4020-1507-0|year = 2003}}

== Fordítás ==
{{fordítás|en|Differential geometry|oldid=794700020}}

== Jegyzetek ==
{{reflist|30em}}

== További információk ==
{{commonskat|Differential geometry}}
*Brian Conrad [http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/ Differenciálgeometria előadásvázlatok] – [[Stanford Egyetem]] {{en}}
*[http://www.maths.adelaide.edu.au/michael.murray/teaching_old.html Michael Murray online differenciálgeometria kurzusa, 1996] {{Wayback|url=http://www.maths.adelaide.edu.au/michael.murray/teaching_old.html |date=20130801003701 }} {{en}}
* Richard S. Palais (2003): [http://VirtualMathMuseum.org/Surface/a/bk/curves_surfaces_palais.pdf Egy modern kurzus a görbékről és felüleletekről] {{pdf}} {{en}}
*[http://VirtualMathMuseum.org/ Richard Palais 3DXM felületek gyűjteménye]
*[http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html Csikós Balázs jegyzetei a differenciálgeometriából] {{Wayback|url=http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html |date=20090605054825 }}
*[http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/scanlib/hicks.pdf N. J. Hicks, Jegyzetek a differenciálgeometriából, Van Nostrand.] {{pdf}}
*MIT OpenCourseWare (2008 ősze): [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-950-differential-geometry-fall-2008/ Differenciálgeometria] {{en}}

{{Nemzetközi katalógusok}}
{{portál|matematika|i |}}

[[Kategória:Differenciálgeometria| ]]