Csillagtestszámok forrásának megtekintése

[[Fájl:StellaOctangulaNumber.jpg|thumb|upright=1.35|[[Csillagtest]] formába pakolt 124 mágneses golyóbis]]

A [[számelmélet]]ben a '''csillagoktaéder-számok''' vagy '''csillagtestszámok''' olyan [[poliéderszám]]ok, illetve [[figurális számok]], melyek a [[Sűrű gömbelhelyezés|sűrűn pakolt gömbök]]ből összeálló [[csillagtest]]ekben (Stella octangula) részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az ''n''-edik csillagtestszám <math>St_n</math> a következő képlettel állítható elő:<ref name="A007588">{{SloanesRef|sequencenumber=A007588|name=Stella octangula numbers: n*(2*n^2 - 1)}}.</ref><ref>{{citation|title=The Book of Numbers|page=51|url=https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA51|first1=John|last1=Conway|author1-link=John Horton Conway|first2=Richard|last2=Guy|author2-link=Richard K. Guy|publisher=Springer|year=1996|isbn=978-0-387-97993-9}}.</ref>

:<math>St_n=n(2n^2-1).</math>

Az első néhány csillagtestszám: 
:[[1 (szám)|1]], [[14 (szám)|14]], [[51 (szám)|51]], [[124 (szám)|124]], [[245 (szám)|245]], [[426 (szám)|426]], [[679 (szám)|679]], [[1016 (szám)|1016]], [[1449 (szám)|1449]], [[1990 (szám)|1990]], [[2651 (szám)|2651]], [[3444 (szám)|3444]], 4381, 5474, 6735, 8176, 9809, 11646, 13699, 15980, 18501, 21274, 24311, 27624, 31225, 35126, 39339, 43876, 48749, 53970, 59551, 65504, 71841, 78574, 85715, 93276, 101269, 109706, 118599, 127960… {{OEIS|A007588}}<ref name="A007588"/>

==Kapcsolat más figurális számokkal==
Ha <math>O_n</math> az ''n''-edik [[oktaéderszám]] és <math>Te_n</math> az ''n''-edik tetraéderszám, akkor
:<math>St_n=O_n+8Te_{n-1}.</math>

==Tulajdonságai, alkalmazásai==
A csillagtestszámok [[generátorfüggvény]]e:<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=stella+octangula+number Wolfram Alpha: Stella octangula number]</ref>

:<math> \frac{z(z^2+10z+1)}{(z-1)^4} .</math>

==Ljunggren egyenlete==
Csak két olyan pozitív csillagtestszám létezik, ami egyben [[négyzetszám]] is, ezek az {{math|1}} és a {{math|1=9653449 = 3107{{sup|2}} = (13 · 239){{sup|2}}}}, amik az {{math|1=''n'' = 1}} és {{math|1=''n'' = 169}} esetnek felelnek meg.<ref name="A007588"/><ref name="Siksek">{{citation|url=http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf|first=Samir|last=Siksek|series=Ph.D. thesis|publisher=University of Exeter|year=1995|title=Descents on Curves of Genus I|pages=16–17}} {{Cite web |url=http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf |title=Archivált másolat |accessdate=2016-07-17 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170809101031/http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf |archivedate=2017-08-09 }}.</ref> A négyzetes csillagtestszámokat leíró [[elliptikus görbe|elliptikus görbét]],
:<math>m^2 = n (2n^2 - 1)</math>
a vele ekvivalens Weierstrass-alakba helyezve:
:<math>x^2 = y^3 - 2y</math>
a következő változócseréket hajtjuk végre: {{math|1=''x'' = 2''m''}}, {{math|1=''y'' = 2''n''}}. Mivel az {{math|''m''{{sup|2}}}} két tényezője, {{mvar|n}} és {{math|2''n''{{sup|2}} &minus; 1}} [[relatív prímek]], ezért külön-külön is négyzetszámoknak kell lenniük, a változók egy második cseréjével, <math>X=m/\sqrt{n}</math> és <math>Y=\sqrt{n}</math> pedig a következő '''Ljunggren-egyenlethez''' jutunk:
:<math>X^2 = 2Y^4 - 1.</math><ref name="Siksek"/>

[[Carl Ludwig Siegel|Siegel]] egy tétele kimondja, hogy minden elliptikus görbének csak véges számú egész megoldása lehet, {{harvs|last=Ljunggren|first=Wilhelm|authorlink=WIlhelm Ljunggren|year=1942|txt}} pedig talált egy bonyolult bizonyítást arra, hogy az előbbi egyenlet egész gyökei éppen {{math|(1,1)}} és {{math|(239,13)}}, amik a két négyzetes csillagtestszámnak felelnek meg.<ref>{{citation
 | last = Ljunggren | first = Wilhelm | authorlink = WIlhelm Ljunggren
 | issue = 5
 | journal = Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I.
 | mr = 0016375
 | page = 27
 | title = Zur Theorie der Gleichung ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;''Dy''<sup>4</sup>
 | volume = 1942
 | year = 1942}}.</ref> [[Louis J. Mordell]] megsejtette, hogy a bizonyítás leegyszerűsíthető, és valóban, később több szerző is sikeresen leegyszerűsítette azt.<ref name="Siksek"/><ref>{{citation
 | last1 = Steiner
 | first1 = Ray
 | last2 = Tzanakis
 | first2 = Nikos
 | doi = 10.1016/S0022-314X(05)80029-0
 | issue = 2
 | journal = Journal of Number Theory
 | mr = 1092598
 | pages = 123–132
 | title = Simplifying the solution of Ljunggren's equation {{math|1=''X''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;2''Y''<sup>4</sup>}}
 | url = http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers/LjunggrenEq.pdf
 | volume = 37
 | year = 1991
 | accessdate = 2016-07-17
 | archívurl = https://web.archive.org/web/20160304080003/http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers/LjunggrenEq.pdf
 | archívdátum = 2016-03-04
 }}.</ref><ref>{{citation
 | last = Draziotis | first = Konstantinos A.
 | doi = 10.4064/cm109-1-2
 | issue = 1
 | journal = Colloquium Mathematicum
 | mr = 2308822
 | pages = 9–11
 | title = The Ljunggren equation revisited
 | volume = 109
 | year = 2007}}.</ref>

==További információk==
*{{mathworld|title=Stella Octangula Number|urlname=StellaOctangulaNumber}}

==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}
{{Citation | last = Kim | first = Hyun Kwang | title = On Regular Polytope Numbers | url = http://com2mac.postech.ac.kr/papers/2001/01-22.pdf | archiveurl = https://web.archive.org/web/20100307080303/http://com2mac.postech.ac.kr/papers/2001/01-22.pdf | archivedate = 2010-03-07 | access-date = 2013-05-30 }} {{Wayback|url=http://com2mac.postech.ac.kr/papers/2001/01-22.pdf |date=20100307080303 }}

{{Természetes számok}}

[[Kategória:Figurális számok]]