CORDIC forrásának megtekintése

A '''CORDIC''' („'''''co'''ordinate '''r'''otation '''di'''gital '''c'''omputer”''), más néven '''Volder-algoritmus''' vagy '''számjegyenkénti módszer''', '''cirkuláris CORDIC''' (Jack E. Volder),<ref name="Volder 1959 1">{{cite journal |author-first=Jack E. |author-last=Volder |title=The CORDIC Computing Technique |location=San Francisco, California, USA |type=presentation |journal=Proceedings of the Western Joint Computer Conference (WJCC) |publisher=[[National Joint Computer Committee]] (NJCC) |date=1959-03-03<!--/05--> |pages=257–261 |url=http://www.computer.org/csdl/proceedings/afips/1959/5054/00/50540257.pdf |access-date=2016-01-02}}</ref><ref name="Volder 1959 2">{{cite journal |author-first=Jack E. |author-last=Volder |title=The CORDIC Trigonometric Computing Technique |journal=[[IRE Transactions on Electronic Computers]] |publisher=[[The Institute of Radio Engineers, Inc.]] (IRE) |pages=330–334 (reprint: 226–230) |issue=3 |volume=8 |id=EC-8(3):330–334 |publication-date=September 1959 |date=1959-05-25 |url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Volder_CORDIC.pdf |access-date=2016-01-01 |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210612204749/http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Volder_CORDIC.pdf |archivedate=2021-06-12 }}</ref> '''lineáris CORDIC''', '''hiperbolikus CORDIC''' (John Stephen Walther)<ref name="Walther 1971">{{cite journal |url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Welther-Unified%20Algorithm.pdf |author-first=John Stephen |author-last=Walther |title=A unified algorithm for elementary functions |journal=[[Proceedings of the Spring Joint Computer Conference]] |volume=38 |publication-place=Atlantic City, New Jersey, USA |via=[[American Federation of Information Processing Societies]] (AFIPS) |pages=379–385 |date=May 1971 |publisher=[[Hewlett-Packard Company]] |location=Palo Alto, California, USA |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210612202952/http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Welther-Unified%20Algorithm.pdf |archivedate=2021-06-12 }}</ref><ref name="Walther 2000">{{cite journal |author-first=John Stephen |author-last=Walther |title=The Story of Unified CORDIC |journal=The Journal of VLSI Signal Processing |publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] |location=Hingham, MA, USA |issn=0922-5773 |volume=25 |issue=2 (Special issue on CORDIC) |pages=107–112 |date=June 2000 |url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=2812970 |doi=10.1023/A:1008162721424|s2cid=26922158 }}</ref> és '''általánosított hiperbolikus CORDIC''' ('''GH CORDIC''') (Yuanyong Luo et al.),<ref name="Luo 2019 TVLSI">{{cite journal |author-first1=Yuanyong |author-last1=Luo |author-first2=Yuxuan |author-last2=Wang |author-first3=Yajun |author-last3=Ha |author-first4=Zhongfeng |author-last4=Wang |author-first5=Siyuan |author-last5=Chen |author-first6=Hongbing |author-last6=Pan |title=Generalized Hyperbolic CORDIC and Its Logarithmic and Exponential Computation With Arbitrary Fixed Base |journal= IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems|volume=27 |issue=9 |pages=2156–2169 |date=September 2019 |doi=10.1109/TVLSI.2019.2919557|s2cid=196171166 }}</ref><ref name="Luo 2019 TVLSI c">{{cite journal |author-first1=Yuanyong |author-last1=Luo |author-first2=Yuxuan |author-last2=Wang |author-first3=Yajun |author-last3=Ha |author-first4=Zhongfeng |author-last4=Wang |author-first5=Siyuan |author-last5=Chen |author-first6=Hongbing |author-last6=Pan |title=Corrections to "Generalized Hyperbolic CORDIC and Its Logarithmic and Exponential Computation With Arbitrary Fixed Base" |journal= IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems|volume=27 |issue=9 |pages=2222 |date=September 2019 |doi=10.1109/TVLSI.2019.2932174|s2cid=201711001 }}</ref> egyszerű, hatékony módszer [[trigonometriai függvény|trigonometriai]], [[hiperbolikus függvény]]ek, négyzetgyökök, szorzások, osztások, valamint tetszőleges alapú exponenciális függvények és logaritmusok számítására, mely jellemzően alkalmanként 1 számjeggyel nagyobb pontosságot ad, így a CORDIC egy számjegyenként haladó algoritmus. A CORDIS és hasonló álszorzás-, álosztás- vagy tényezőkombinációs módszerek általában elérhető [[hardveres szorzó]] nélkül (például egyszerű [[mikrokontroller]]ekben és [[field-programmable gate array|FPGA]]-kban) használatos, mivel hozzá csak összeadás, kivonás, bitenkénti eltolás és [[keresési tábla|keresési táblák]] kellenek. Így ez egy eltoló-összeadó művelet. A CORDIC-ot gyakran használják lebegőpontos számábrázoláshoz, ha a célplatform korlátozott költség vagy tárhely miatt nem rendelkezik hardveres szorzóval.

==Története==
Hasonló módszereket írt le [[Henry Briggs (matematikus)|Henry Briggs]] 1624-ben<ref name="Briggs 1624">{{cite book |title=Arithmetica Logarithmica |date=1624 |location=London |title-link=Arithmetica Logarithmica |author-last=Briggs |author-first=Henry}} (angolul: [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Briggs/index.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304192134/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Briggs/index.html|date=4 March 2016}})</ref><ref name="Laporte 2014 Briggs">{{cite web |url=http://www.jacques-laporte.org/Briggs%20and%20the%20HP35.htm |title=Henry Briggs and the HP 35 |author-last=Laporte |author-first=Jacques |date=2014 |location=Paris, France |orig-date=2005 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150309055201/http://www.jacques-laporte.org/Briggs%20and%20the%20HP35.htm |archive-date=2015-03-09 |url-status=dead |access-date=2016-01-02}} [http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Briggs%20and%20the%20HP35.htm] {{Wayback|url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Briggs%20and%20the%20HP35.htm|date=20200810150426}}</ref> és Robert Flower 1771-ben,<ref name="Flower 1771">{{cite book |title=The Radix. A new way of making logarithms. |date=1771 |author-first=Robert |author-last=Flower |publisher=J. Beecroft |location=London |url=https://books.google.com/books?id=mYpaAAAAcAAJ |access-date=2016-01-02}}</ref> de a CORDIC alacsony komplexitású processzorokra optimalizált.

A CORDIC-ot 1956-ban fogalmazta meg<ref name="Volder 1956">{{cite report|author-first=Jack E. |author-last=Volder |title=Binary Computation Algorithms for Coordinate Rotation and Function Generation |type=internal report |id=IAR-1.148 |publisher=[[Convair]], Aeroelectronics group |date=1956-06-15}}</ref><ref name="Volder 2000">{{cite journal |date=June 2000 |title=The Birth of CORDIC |url=http://late-dpedago.urv.cat/site_media/papers/fulltext_2.pdf |journal=Journal of VLSI Signal Processing |location=Hingham, MA, USA |publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] |volume=25 |issue=2 (Special issue on CORDIC) |pages=101–105 |issn=0922-5773 |access-date=2016-01-02 |author-first=Jack E. |author-last=Volder |doi=10.1023/A:1008110704586 |s2cid=112881 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304064804/http://late-dpedago.urv.cat/site_media/papers/fulltext_2.pdf |archive-date=2016-03-04 |url-status=dead |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304064804/http://late-dpedago.urv.cat/site_media/papers/fulltext_2.pdf |archivedate=2016-03-04 }}</ref> [[Jack E Volder]] a [[Convair]] aeroelektronikai részlegénél a [[B–58 Hustler|B–58]] navigációs számítógépének analóg feloldójának cseréjére egy pontosabb, gyorsabb valós idejű digitális megoldásra.<ref name="Volder 2000"/> Így a CORDIC-ot nvezik néha digitális feloldónak.<ref name="Perle 1971">{{cite journal|title=CORDIC Technique Reduces Trigonometric Function Look-Up |author-first=Michael D. |author-last=Perle |date=June 1971 |journal=Computer Design |publisher=Computer Design Publishing Corp. |location=Boston, MA, USA |pages=72–78}} (Egyes források a szerzőt tévesen P. Z. Perle-nek vagy a lapot Component Designnak nevezik.)</ref><ref name="Schmid 1983">{{cite book |title=Decimal Computation |author-first=Hermann |author-last=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (informatikus)|orig-date=1974|year=1983|edition=1 (reprint)|publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, Florida, USA |pages=162, 165–176, 181–193 |isbn=0-89874-318-4 |url=https://books.google.com/books?id=uEYZAQAAIAAJ |access-date=2016-01-03}} (a reprint egy része hibásan lehetett nyomtatva, ahol a 115–146. oldal hibás.<!--más könyvből származik-->)</ref>

Volder kutatását a ''[[CRC Handbook of Chemistry and Physics]]'' 1946-os kiadásában szereplő alábbi képlet inspirálta:<ref name="Volder 2000"/>
: <math>
\begin{align}
 K_n R \sin(\theta \pm \varphi) &= R \sin(\theta) \pm 2^{-n} R \cos(\theta), \\
 K_n R \cos(\theta \pm \varphi) &= R \cos(\theta) \mp 2^{-n} R \sin(\theta), \\
\end{align}
</math>
ahol <math>\varphi</math> értéke úgy van megválasztva, hogy <math>\text{tg}\ \varphi = 2^{-n}</math>, és <math>K_n := \sqrt{1 + 2^{-2n}}</math>.

Kutatása egy belső technikai jelentéshez vezetett, melyben a CORDIC algoritmust javasolták szinusz- és koszinuszfüggvények megoldására, valamint egy vele rendelkező kezdeti számítógépet.<ref name="Volder 1956"/><ref name="Volder 2000"/> Itt a hiperbolikus forgatás, logaritmusok és exponenciális függvények számításának módosított CORDIC algoritmusokkal való megoldásáról is szó volt.<ref name="Volder 1956"/><ref name="Volder 2000"/> A CORDIC szorzásra és osztásra való használatát is ekkor fogalmazták meg.<ref name="Volder 2000"/> A CORDIC elvein alapulva Dan H. Daggett, Volder munkatársa a bináris és a binárisan kódolt decimális (BCD) közti átváltási algoritmusokat javasolt.<ref name="Volder 2000"/><ref name="Daggett 1959">{{cite journal |author-last=Daggett |author-first=Dan H. |title=Decimal-Binary Conversions in CORDIC |journal=[[IRE Transactions on Electronic Computers]] |volume=8 |issue=3  |id=EC-8(3):335–339 |pages=335–339 |publisher=[[The Institute of Radio Engineers, Inc.]] (IRE) |date=September 1959 |doi=10.1109/TEC.1959.5222694 |issn=0367-9950 |url=https://www.researchgate.net/researcher/74881302_D_H_Daggett |access-date=2016-01-02}}</ref>

1958-ban a Convair elkezdte egy bemutató rendszer építését radarrögzítést igénylő problémák megoldására, melynek neve ''CORDIC I'' volt, melyet 1960-ban Volder nélkül fejeztek be, aki elhagyta a társaságot.<ref name="Volder 1959 1"/><ref name="Volder 2000"/> A több célra használható ''CORDIC II A'' (stacionárius) és ''B'' (repülő) modelleket Daggett és Harry Schuss készítették el és építették 1962-ben.<ref name="Volder 2000"/><ref name="ASG 1962">{{cite report|title=Technical Description of Fix-taking Tie-in Equipment |author=Advanced Systems Group |publisher=[[General Dynamics]] |location=Fort Worth, Texas, USA |date=1962-08-06 |id=FZE-052}}</ref>

Volder CORDIC algoritmusát nyilvánosan 1959-ben írták le,<ref name="Volder 1959 1"/><ref name="Volder 1959 2"/><ref name="Volder 2000"/><ref name="Schmid 1983"/><ref name="Schmid 1974">{{cite book |title=Decimal Computation |author-first=Hermann |author-last=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1 |publisher=[[John Wiley & Sons, Inc.]] |location=Binghamton, New York, USA |isbn=0-471-76180-X |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm |url-access=registration |access-date=2016-01-03 |pages=[https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm/page/162 162], 165–176, 181–193 |quote=So far CORDIC has been known to be implemented only in binary form. But, as will be demonstrated here, the algorithm can be easily modified for a decimal system.* […] *In the meantime it has been learned that [[Hewlett-Packard]] and other calculator manufacturers employ the decimal CORDIC techniques in their scientific calculators.}}</ref> emiatt többek közt a [[Martin Orlando]], a [[Computer Control]], a [[Litton Industries|Litton]], a [[Kearfott]], a [[Lear-Siegler]], a [[Sperry Rand|Sperry]], a [[Raytheon]] és a [[Collins Radio]] navigációs számítógépeibe is ez került.<ref name="Volder 2000"/>

Volder Malcolm McMillannel együtt kívánta megépíteni az ''Athenát'', mely egy bináris CORDIC algoritmust használó fixpontos számológép lett volna.<ref name="Leibson 2010 2">{{cite web |title=The HP 9100 Project: An Exothermic Reaction |date=2010 |author-first=Steven<!-- Steve --> |author-last=Leibson |url=http://www.hp9825.com/html/the_9100_part_2.html |access-date=2016-01-02}}</ref> A terveket a Hewlett-Packardnak mutatták be 1965 júniusában, de nem fogadták el.<ref name="Leibson 2010 2"/> Azonban McMillan [[David S. Cochran]]nek (HP) bemutatta Volder algoritmusát, és mikor Cochran később Volderrel találkozott, egy hasonló módszert mutatott be, melyet [[John&nbsp;E. Meggitt]] (IBM)<ref name="Meggitt 1962">{{cite journal|date=1961-08-29|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Meggitt_62.pdf|journal=[[IBM Journal of Research and Development]]|location=Riverton, New Jersey, USA|publisher=[[IBM Corporation]]|publication-date=April 1962|volume=6|issue=2|pages=210–226, 287|doi=10.1147/rd.62.0210|access-date=2016-01-09|quote=John E. Meggitt B.A., 1953; PhD, 1958, [[Cambridge University]]. Awarded the First [[Smith Prize]] at Cambridge in 1955 and elected a Research Fellowship at [[Emmanuel College, Cambridge|Emmanuel College]]. […] Joined [[IBM Hursley|IBM British Laboratory at Hursley, Winchester]] in 1958. Interests include [[error-correcting code]]s and small microprogrammed computers.|author-first=John E.|author-last=Meggitt|accessdate=2023-07-31|archiveurl=https://web.archive.org/web/20220204062801/http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Meggitt_62.pdf|archivedate=2022-02-04}} ([http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?reload=true&tp=&arnumber=5392370], [http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?reload=true&tp=&arnumber=5392370])</ref> javasolt álszorzásnak és álosztásnak nevezve 1961-ben.<ref name="Meggitt 1962"/><ref name="Cochran 2010 2">{{cite web |url=http://www.hpmemoryproject.org/timeline/dave_cochran/a_quarter_century_at_hp_00.htm#chapter_07 |title=A Quarter Century at HP |author-last=Cochran |author-first=David S. |date=2010-11-19 |publisher=[[Computer History Museum]] / HP Memories |at=7: Scientific Calculators, circa 1966 |type=interview typescript |id=CHM X5992.2011 |access-date=2016-01-02 |quote=I even flew down to Southern California to talk with Jack Volder who had implemented the transcendental functions in the ''Athena'' machine and talked to him for about an hour. He referred me to the original papers by Meggitt where he'd gotten the pseudo division, pseudo multiplication generalized functions. […] I did quite a bit of literary research leading to some very interesting discoveries. […] I found a treatise from 1624 by [[Henry Briggs (mathematician)|Henry Briggs]] discussing the calculation of common logarithms, interestingly used the same pseudo-division/pseudo-multiplication method that MacMillan and Volder used in ''Athena''. […] We had purchased a [[Wang LOCI-2|LOCI-2]] from [[Wang Labs]] and recognized that Wang Labs LOCI&nbsp;II used [[multiple discovery|the same algorithm]] to do square root as well as log and exponential. After the introduction of the [[hp 9100A|9100]] our legal department got a letter from Wang saying that we had infringed on their patent. And I just sent a note back with the Briggs reference in Latin and it said, "It looks like [[prior art]] to me." We never heard another word.}} ([http://www.hpmemoryproject.org/an/pdf/A_Quarter_Century_at_HP110829.pdf])</ref> Meggitt módszere a 10-es alap használatát javasolta<ref name="Meggitt 1962"/> a 2-es helyett, melyet Volder CORDIC-ja használt. Ez egy decimális CORDIC-prototípus 1966-os ROM-olható logikai implementációjának az előzménye volt a Hewlett-Packardnál,<ref name="Cochran 1966">{{cite journal |author-first=David S. |author-last=Cochran |title=About utilizing CORDIC for computing transcendental functions in BCD |date=1966-03-14 |type=private communication with Jack E. Volder}}</ref><ref name="Cochran 2010 2"/> mely [[Thomas Osborne]] prototipikus ''Green Machine''-jéből származik, mely négyfunkciós, lebegőpontos számológép, melyet [[dióda–tranzisztor logika|DTL]] logikával alkotott meg<ref name="Leibson 2010 2"/> 1964 decemberében.<ref name="Osborne 1994">{{cite web |title=Tom Osborne's Story in His Own Words |author-first=Thomas<!-- Tom --> E. |author-last=Osborne |orig-date=1994 |date=2010 |url=http://www.hp9825.com/html/osborne_s_story.html |access-date=2016-01-01}}</ref> Ez a Hewlett Packard első tudományos funkciókkal rendelkező számológépének, az 1968. márciusi HP 9100A-nak az előzménye volt, melynek ugyanez évben kezdődött a sorozatgyártása.<ref name="Leibson 2010 2"/><ref name="Osborne 1994"/><ref name="Leibson 2010 1">{{cite web |title=The HP 9100: The Initial Journey |date=2010 |author-first=Steven<!-- Steve --> |author-last=Leibson |url=http://www.hp9825.com/html/the_9100_project.html |access-date=2016-01-02}}</ref><ref name="Cochran 1968">{{cite journal|date=September 1968|title=Internal Programming of the 9100A Calculator|url=http://www.hpmemoryproject.org/timeline/dave_cochran/hpj_sep68.htm|journal=[[Hewlett-Packard Journal]]|location=Palo Alto, California, USA|publisher=[[Hewlett-Packard]]|pages=14–16|access-date=2016-01-02|author-first=David S.|author-last=Cochran}} ([http://www.hparchive.com/Journals/HPJ-1968-09.pdf])</ref>

Mikor a [[Wang Laboratories]] felfedezte, hogy a HP 9100A hasonló módszert használt, mint a korábbi LOCI–1 (1964. szeptember)<ref name="Wang 1964 LOCI-1">{{cite journal|publisher=[[Wang Laboratories, Inc.]] |title=Extend your Personal Computing Power with the new LOCI-1 Logarithmic Computing Instrument |date=1964 |pages=2–3 |url=http://www.oldcalculatormuseum.com/a-loci1br-23.html |access-date=2016-01-03}}</ref> és LOCI–2 (1965. január)<ref name="Bensene 2013">{{cite web |author-first=Rick |author-last=Bensene |title=Wang LOCI-2 |date=2013-08-31 |orig-date=1997 |work=Old Calculator Web Museum |location=Beavercreek, Oregon City, Oregon, USA |url=http://www.oldcalculatormuseum.com/wangloci.html |access-date=2016-01-03}}</ref><ref name="Wang 1967_LOCI">{{cite web |title=Wang LOCI Service Manual |publisher=Wang Laboratories, Inc. |date=1967 |id=L55-67 |url=http://bitsavers.informatik.uni-stuttgart.de/pdf/wang/loci/Wang_LOCI_Service_Manual.pdf |access-date=2018-09-14}}</ref> ''Logarithmic Computing Instrument'' számológép,<ref name="Bensene 2004">{{cite web |author-first=Rick |author-last=Bensene |title=Wang Model 360SE Calculator System |date=2004-10-23 |orig-date=1997 |work=Old Calculator Web Museum |location=Beavercreek, Oregon City, Oregon, USA |url=http://www.oldcalculatormuseum.com/wang360.html |access-date=2016-01-03}}</ref> sikertelenül vádolták a Hewlett-Packardot An Wang szabadalmának sértéséért 1968-ban.<ref name="Cochran 2010 2"/><ref name="Cochran 2010 1"/><ref name="Wang US3402285">{{US patent|number=3402285A|title=Calculating apparatus|status=patent|pubdate=1968-09-17|fdate=1964-09-22|pridate=1964-09-22|gdate=1968-09-17|inventor1-last=Wang|inventor1-first=An|assign1=[[Wang Laboratories]]|inventor1-link=An Wang}} ([http://www.freepatentsonline.com/3402285.html], [http://www.google.com/patents/US3402285])</ref><ref name="Wang_DE1499281B1">{{DE patent|number=1499281B1|title=Rechenmaschine fuer logarithmische Rechnungen|status=patent|pubdate=1970-05-06|fdate=1965-09-17|pridate=1964-09-22|gdate=1970-05-06|inventor1-last=Wang|inventor1-first=An|assign1=[[Wang Laboratories]]|inventor1-link=An Wang}} ([http://www.google.com/patents/DE1499281B1])</ref>

[[John Stephen Walther]], a Hewlett-Packard dolgozója az algoritmust általánosította egy „egységes CORDIC” algoritmussá 1971-ben, lehetővé téve hiperbolikus és exponenciális függvények, logaritmusok, szorzások, osztások és négyzetgyökök számítását.<ref name="Swartzlander 1990">{{cite book |title=Computer Arithmetic |author-first=Earl E. |author-last=Swartzlander, Jr. |volume=1 |date=1990 |edition=2 |publisher=[[IEEE Computer Society Press]] |location=Los Alamitos |isbn=9780818689314 |id=0818689315 |url=https://books.google.com/books?id=egIpAQAAMAAJ |access-date=2016-01-02}}</ref><ref name="Walther 1971"/><ref name="Walther 2000"/><ref name="Petrocelli 1972">{{cite book|title=The Best Computer Papers of 1971 |page=71 |editor-first=Orlando R. |editor-last=Petrocelli |publisher=[[Auerbach Publishers]] |date=1972 |isbn=0877691274 |url=https://books.google.com/books?id=f6ezAAAAIAAJ |access-date=2016-01-02}}</ref> A trigonometriai és hiperbolikus függvények CORDIC-programrészeinek kódja nagyrészt közös lehet.<ref name="Cochran 2010 1">{{cite web |author-first=David S. |author-last=Cochran |title=The HP-35 Design, A Case Study in Innovation |date=June 2010 |publisher=HP Memory Project |url=http://www.hpmemoryproject.org/wb_pages/d_cochran_01.htm |access-date=2016-01-02 |quote=During the development of the desktop [[Hewlett-Packard 9100A|HP 9100]] calculator I was responsible for developing the algorithms to fit the architecture suggested by Tom Osborne. Although the suggested methodology for the algorithms came from Malcolm McMillan I did considerable amount of reading to understand the core calculations […] Although [[Wang Laboratories]] had used similar methods of calculation, my study found [[prior art]] dated 1624 that read on their patents. […] This research enabled the adaption of the transcendental functions through the use of the algorithms to match the needs of the customer within the constraints of the hardware. This proved invaluable during the development of the [[HP-35]], […] Power series, polynomial expansions, continued fractions, and Chebyshev polynomials were all considered for the transcendental functions. All were too slow because of the number of multiplications and divisions required. The generalized algorithm that best suited the requirements of speed and programming efficiency for the HP-35 was an iterative pseudo-division and pseudo-multiplication method first described in 1624 by Henry Briggs in '[[Arithmetica Logarithmica]]' and later by Volder and Meggitt. This is the same type of algorithm that was used in previous HP desktop calculators. […] The complexity of the algorithms made multilevel programming a necessity. This meant the calculator had to have subroutine capability, […] To generate a transcendental function such as Arc-Hyperbolic-Tan required several levels of subroutines. […] Chris Clare later documented this as ''Algorithmic State Machine'' (ASM) methodology. Even the simple Sine or Cosine used the Tangent routine, and then calculated the Sine from trigonometric identities. These arduous manipulations were necessary to minimize the number of unique programs and program steps […] The arithmetic instruction set was designed specifically for a decimal transcendental-function calculator. The basic arithmetic operations are performed by a 10's complement adder-subtractor which has data paths to three of the registers that are used as working storage.}}</ref> Ezután 1972-ben megjelent az első tudományos hordozható számológép, a HP-35.<ref name="Cochran 2010 1"/><ref name="Cochran 1972">{{cite journal |author-first=David S. |author-last=Cochran |title=Algorithms and Accuracy in the HP-35 |journal=[[Hewlett-Packard Journal]] |date=June 1972 |volume=23 |issue=10 |pages=10–11 |url=http://www.hpl.hp.com/hpjournal/72jun/jun72a2.pdf |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131004225515/http://www.hpl.hp.com/hpjournal/72jun/jun72a2.pdf |archivedate=2013-10-04 }}</ref><ref name="Laporte 2005_Trig">{{cite web |url=http://www.jacques-laporte.org//Trigonometry.htm |title=HP35 trigonometric algorithm |author-last=Laporte |author-first=Jacques |date=2005-12-06 |location=Paris, France |archive-url=https://web.archive.org/web/20150309055210/http://www.jacques-laporte.org/Trigonometry.htm |archive-date=2015-03-09 |url-status=dead |access-date=2016-01-02}} [http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Trigonometry.htm] {{Wayback|url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Trigonometry.htm|date=20200810155919}}</ref><ref name="Laporte 2005_Secret">{{cite journal|date=February 2005|orig-date=1981<!-- February 1981 -->|title=The secret of the algorithms|url=http://www.jacques-laporte.org/TheSecretOfTheAlgorithms.htm|url-status=dead|journal=L'Ordinateur Individuel<!-- original French publication in 1981 -->|location=Paris, France|issue=24|archive-url=https://web.archive.org/web/20160818122704/http://www.jacques-laporte.org/TheSecretOfTheAlgorithms.htm|archive-date=2016-08-18|access-date=2016-01-02|author-first=Jacques|author-last=Laporte|accessdate=2023-07-31|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160818122704/http://www.jacques-laporte.org/TheSecretOfTheAlgorithms.htm|archivedate=2016-08-18}} [http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/TheSecretOfTheAlgorithms.htm] {{Wayback|url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/TheSecretOfTheAlgorithms.htm|date=20210612210655}}</ref><ref name="Laporte 2012_Digit">{{cite web |url=http://www.jacques-laporte.org/digit_by_digit.htm |title=Digit by digit methods |author-last=Laporte |author-first=Jacques |date=February 2012 |location=Paris, France |orig-date=2006<!-- 2006-06-09, 2006-11-13 --> |archive-url=https://web.archive.org/web/20160818121038/http://www.jacques-laporte.org/digit_by_digit.htm |archive-date=2016-08-18 |url-status=dead |access-date=2016-01-02}} [http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/digit_by_digit.htm] {{Wayback|url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/digit_by_digit.htm|date=20210612210056}}</ref><ref name="Laporte 2012_HP35Log">{{cite web |url=http://www.jacques-laporte.org/Logarithm_1.htm |title=HP 35 Logarithm Algorithm |author-last=Laporte |author-first=Jacques |date=February 2012 |location=Paris, France |orig-date=2007 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160818120118/http://www.jacques-laporte.org/Logarithm_1.htm |archive-date=2016-08-18 |url-status=dead |access-date=2016-01-07}} [http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Logarithm_1.htm] {{Wayback|url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/Logarithm_1.htm|date=20200810145358}}</ref> A hiperbolikus CORDIC-on alapulva Yuanyong Luo és társai javasolták az általános hiperbolikus CORDIC (GH CORDIC) használatát tetszőleges alapú logaritmusok és exponenciális függvényekhez 2019-ben.<ref name="Luo 2019 TVLSI"/><ref name="Luo 2019 TVLSI c"/><ref name="Wang 2020 tvlsi">{{cite journal |author-first1=Yuxuan |author-last1=Wang |author-first2=Yuanyong |author-last2=Luo |author-first3=Zhongfeng |author-last3=Wang |author-first4=Qinghong |author-last4=Shen |author-first5=Hongbing |author-last5=Pan |title=GH CORDIC-Based Architecture for Computing Nth Root of Single-Precision Floating-Point Number |journal= IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems|volume=28 |issue=4 |pages=864–875 |date=January 2020 |doi=10.1109/TVLSI.2019.2959847|s2cid=212975618 }}</ref><ref name="Mopuri 2019 Nth">{{cite journal |author-first1=Suresh |author-last1=Mopuri |author-first2=Amit |author-last2=Acharyya |title=Low Complexity Generic VLSI Architecture Design Methodology for Nth Root and Nth Power Computations |journal= IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers|volume=66 |issue=12 |pages=4673–4686 |date=September 2019 |doi=10.1109/TCSI.2019.2939720|s2cid=203992880 }}</ref><ref name="Vachhani 2020">{{cite journal |author-first1=Leena |author-last1=Vachhani |title=CORDIC as a Switched Nonlinear System |journal= Circuits, Systems and Signal Processing|volume=39 |pages=3234–3249 |date=November 2019 |issue=6 |doi=10.1007/s00034-019-01295-8|s2cid=209904108}}</ref> Elvileg a hiperbolikus CORDIC a GH CORDIC speciális esete.<ref name="Luo 2019 TVLSI"/>

Eredetileg a CORDIC-ot csak bináris számrendszerben alkották meg, és bár Meggitt javasolta a decimális rendszer használatát az álszorzáshoz, a decimális CORDIC iránt kevés érdeklődés volt néhány további évig, így Hermann Schmid és Anthony Bogacki még 1973-ban is újdonságként tekintettek rá,<ref name="Schmid 1974"/><ref name="Schmid 1983"/><ref name="Schmid 1973">{{cite journal |author-first1=Hermann |author-last1=Schmid |author-link1=Hermann Schmid (computer scientist) |author-first2=Anthony |author-last2=Bogacki |title=Use Decimal CORDIC for Generation of Many Transcendental Functions |journal=[[EDN (magazine)|EDN]] |date=1973-02-20 |pages=64–73}}</ref><ref name="Franke 1973">{{cite book |author-first=Richard |author-last=Franke |title=An Analysis of Algorithms for Hardware Evaluation of Elementary Functions |date=1973-05-08 |publisher=[[United States Department of the Navy|Department of the Navy]], [[Naval Postgraduate School]] |location=Monterey, California, USA |id=NPS-53FE73051A |url=http://calhoun.nps.edu/bitstream/handle/10945/29706/analysisofalgori00fran.pdf |access-date=2016-01-03}}</ref><ref name="Muller 2006">{{cite book |author-first=Jean-Michel |author-last=Muller |title=Elementary Functions: Algorithms and Implementation |edition=2 |publisher=[[Birkhäuser]] |location=Boston |date=2006 |page=134 |isbn=978-0-8176-4372-0 |lccn=2005048094 |url=http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/SecondEdition.html |access-date=2015-12-01}}</ref> és csak később derült ki, hogy a Hewlett-Packard már 1966-ban létrehozta.<ref name="Volder 2000"/><ref name="Schmid 1983"/><ref name="Cochran 1966"/><ref name="Cochran 2010 1"/>

A decimális CORDIC a hordozható számológépekben gyakori,<ref name="Schmid 1983"/> melyek nagy része binárisan kódolt decimális számrendszert használ a bináris helyett. E be- és kimeneti változás nem változtatja meg a CORDIC alap számítási algoritmusait. A CORDIC jól használható hordozható számológépekben, ahol az alacsony költség – így a kevés kapu – fontosabb a sebességnél.

A CORDIC-ot használja az [[ARM architektúra|ARM]]-alapú [[STM32|STM32G4]], az [[Intel 8087]],<ref name="Muller 2006"/><ref name="Nave 1983">{{cite journal |author-first=Rafi |author-last=Nave |title=Implementation of Transcendental Functions on a Numerics Processor |journal=Microprocessing and Microprogramming |volume=11 |issue=3–4 |pages=221–225 |date=March 1983|doi=10.1016/0165-6074(83)90151-5 }}</ref><ref name="Palmer 1984">{{cite book |title=The 8087 Primer |author-first1=John F. |author-last1=Palmer |author-first2=Stephen Paul |author-last2=Morse |author-link2=Stephen Paul Morse |publisher=[[John Wiley & Sons Australia, Limited]] |date=1984 |edition=1 |isbn=0471875694 |id=9780471875697 |url=https://archive.org/details/8087primer00palm |url-access=registration |access-date=2016-01-02}}</ref><ref name="Glass 1990">{{cite journal|title=Math Coprocessors: A look at what they do, and how they do it|url=https://archive.org/details/sim_byte_1990-01_15_1/page/337|author-first=L. Brent|author-last=Glass|journal=[[Byte (magazin)|Byte]]|volume=15|issue=1|year=1990|month=január|pages=337–348 |issn=0360-5280}}</ref><ref name="Jarvis 1990">{{cite journal |title=Implementing CORDIC algorithms – A single compact routine for computing transcendental functions |author-first=Pitts |author-last=Jarvis |date=1990-10-01 |journal=[[Dr. Dobb's Journal]] |pages=152–156 |url=http://www.drdobbs.com/database/implementing-cordic-algorithms/184408428 |access-date=2016-01-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304085613/http://www.drdobbs.com/database/implementing-cordic-algorithms/184408428 |archive-date=4 March 2016 |url-status=dead }}</ref> a [[Intel 80287|80287]],<ref name="Jarvis 1990"/><ref name="Yuen 1988">{{cite journal |title=Intel's Floating-Point Processors |author-first=A. K. |author-last=Yuen |journal=Electro/88 Conference Record |pages=48/5/1–7 |date=1988}}</ref> az [[Intel 80387|80387]]<ref name="Jarvis 1990"/><ref name="Yuen 1988"/> és a [[Intel 80486|80486]]<ref name="Muller 2006"/> koprocesszor-sorozat, továbbá a [[Motorola 68881]]<ref name="Muller 2006"/><ref name="Nave 1983"/> és a [[Motorola 68882|68882]] bizonyos lebegőpontos utasításokhoz, különösképp az [[FPU]] alrendszer kapuszámának és összetettségének csökkentésére.

== Alkalmazások ==
A CORDIC eltolást és összeadást használ bizonyos számításokhoz, például trigonometriai, hiperbolikus és logaritmikus függvényekhez, valós és komplex szorzásokhoz, osztáshoz, négyzetgyökszámításhoz, lineáris rendszerek megoldásához, [[sajátérték]]becsléshez, [[szinguláris értékek felbontása|szinguláris értékek felbontásához]], [[QR-felbontás]]hoz stb. Így a CORDIC többek közt [[jelfeldolgozás|jel]]-, [[képfeldolgozás|kép]]-, [[robotika|robotikában]] és [[3D-grafika|3D-grafikában]] is használatos általános tudományos és technikai számításokon kívül.<ref name="Meher 2009">{{cite journal |date=2008-08-22<!-- revised 26 November, 2008-11-26, 2009-04-10, first published: 2009-06-19, current version first published: 2009-09-02 --> |title=50 Years of CORDIC: Algorithms, Architectures and Applications |journal= IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers|publication-date=2009-09-09|volume=56|issue=9|pages=1893–1907|author-first1=Pramod Kumar |author-last1=Meher |author-first2=Javier |author-last2=Valls |author-first3=Tso-Bing |author-last3=Juang |author-first4=K.|author-last4=Sridharan|author-first5=Koushik|author-last5=Maharatna|doi=10.1109/TCSI.2009.2025803 |s2cid=5465045 |url=https://eprints.soton.ac.uk/267873/1/tcas1 cordic_review.pdf}}</ref><ref name="Meher 2013 CORDIC">{{cite journal |author-first1=Pramod Kumar |author-last1=Meher |author-first2=Sang Yoon |author-last2=Park |title=Low Complexity Generic VLSI Architecture Design Methodology for Nth Root and Nth Power Computations |journal= IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems|volume=21 |issue=2 |pages=217–228 |date=February 2013 |doi=10.1109/TVLSI.2012.2187080|s2cid=7059383}}</ref>

=== Hardver ===
Az algoritmust az [[Apollo-program]] holdjárójában is alkalmazták az [[azimut]] és a holdmodultól való távolság számításához.<ref name="Heffron-LaPiana 1970">{{cite web |url=https://www.hq.nasa.gov/alsj/19790072520_1979072520.pdf |author-last1=Heffron |author-first1=W. G. |author-last2=LaPiana |author-first2=F. |title=Technical Memorandum 70-2014-8: The Navigation System of the Lunar Roving Vehicle |date=1970-12-11 |location=Washington, D.C., USA |publisher=[[Bellcomm]] |website=NASA |page=14}}</ref><ref name="Smith-Mastin 1973">{{cite web |url=https://www.hq.nasa.gov/alsj/19740003321_1974003321.pdf |author-last1=Smith |author-first1=Earnest C. |author-last2=Mastin |author-first2=William C. |title=Technical Note D-7469: Lunar Roving Vehicle Navigation System Performance Review |date=November 1973 |location=Huntsville, Alabama, USA |publisher=[[Marshall Space Flight Center]] |website=NASA |page=17}}</ref> A CORDIC az [[Intel 8087]] matematikai koprocesszorban (1980) is használatos volt, így nem kellett hardveres szorzás.<ref name="Shirriff 2020">{{cite web |url=http://www.righto.com/2020/05/extracting-rom-constants-from-8087-math.html |title=Extracting ROM constants from the 8087 math coprocessor's die |author-last=Shirriff |author-first=Ken |date=May 2020 |website=righto.com |access-date=2020-09-03 |quote=The ROM contains 16 arctangent values, the arctans of 2<sup>−n</sup>. It also contains 14 log values, the base-2 logs of (1+2<sup>−n</sup>). These may seem like unusual values, but they are used in an efficient algorithm called CORDIC, which was invented in 1958.}}</ref>

A CORDIC általában gyorsabb más módszereknél hardveres szorzó nélküli rendszerekben (például mikrokontrollerekben) vagy ha a támogatott funkciókhoz szükséges kapuk száma minimalizálandó (például FPGA-ban vagy [[ASIC]]-ben). A CORDIC gyakori az FPGA-fejlesztésben, például a Xilinx Vivadójában, míg egy hatványsoros változat nem a specificitása miatt, vagyis a CORDIC számos különböző függvényt képes kiszámítani (általános célú), míg egy hatványsorokat végző hardveres szorzó csak a függvényt tudja számítani, melyre tervezték.

Az STM32G4 sorozat, valamint az STM32H7 MCU-sorozat néhány tagjában CORDIC-modul van, melyek néhány vegyes jeles alkalmazást gyorsítanak, például a [[felhasználói felület]] grafikáját és a vektorirányítást. Bár nem oly gyors, mint egy hatványsoros közelítés, a CORDIC gyorsabb a táblázatalapú implementációk, például az ARM CMSIS vagy a C szabványkönyvtárak interpolációjánál.<ref name="STM 2021">{{cite web |title=Getting started with the CORDIC accelerator using STM32CubeG4 MCU Package |url=https://www.st.com/resource/en/application_note/dm00614795-getting-started-with-the-cordic-accelerator-using-stm32cubeg4-mcu-package-stmicroelectronics.pdf |publisher=[[STMicroelectronics]] |access-date=2021-01-01}}</ref> Bár az eredmények kissé pontatlanabbak lehetnek, ugyanis a CORDIC-modulokban csak 20 bit pontosság érhető el az eredményben. Például az ARM-hoz képest lévő teljesítménykülönbség nagy részét a teljes lebegőpontos pontosság (24 bit) interpolációs algoritmus költségei okozzák, melyhez viszonyított relatív hiba érhető el.<ref name="ARM 2021">{{cite web |title=CMSIS/CMSIS/DSP_Lib/Source/ControllerFunctions/arm_sin_cos_f32.c |url=https://github.com/ARM-software/CMSIS/blob/master/CMSIS/DSP_Lib/Source/ControllerFunctions/arm_sin_cos_f32.c |website=Github |publisher=ARM |access-date=2021-01-01}}</ref> További előny, hogy a CORDIC modul koprocesszor, így más processzorfeladatokkal párhuzamosan futhat.

A Taylor-sorok hátránya, hogy bár abszolút hibájuk kicsi, a relatív hiba nem viselkedik egyszerűen.<ref name="Error 2021">{{cite web |title=Error bounds of Taylor Expansion for Sine |url=https://math.stackexchange.com/q/2464759 |website=Math Stack Exchange |access-date=2021-01-01}}</ref> Más polinomiális megközelítések, például a [[minimax közelítőalgoritmus]] mindkét hiba korlátozására megfelelők.

=== Szoftver ===
Számos, csak egész számokat kezelő processzorú rendszer a CORDIC-ot használja bizonyos mértékig a [[lebegőpontos számábrázolás]]hoz való könyvtárakhoz. Mivel a legtöbb modern, általános célú processzorban van lebegőpontos regiszter gyakori műveletekkel, például összeadással, kivonással, szorzással, osztással, szinusszal, koszinusszal, négyzetgyökkel, 10-es alapú és természetes logaritmussal, a CORDIC implementáció szinte fölösleges. Csak mikrokontrollerekben és speciális biztonsági és időkorlátos szoftverek esetén használatos gyakran a CORDIC.

== Módszerek ==
===Forgatásos módszer===
A CORDIC számos különböző függvény számítására használható. E magyarázat megmutatja a CORDIC rotációs módú használatát egy szög szinuszának és koszinuszának számításához, feltéve, hogy a szög radiánban van megadva, és formátumban. Egy <math>\beta</math> szög szinuszának vagy koszinuszának megadásához az adott szögnek megfelelő pont ''y'' vagy ''x'' koordinátája kell. CORDIC esetén a <math>v_0</math> vektorból indulunk ki:
: <math>v_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.</math>
[[Fájl:CORDIC-illustration.svg|thumb|300px|Folyamatban lévő CORDIC algoritmus illusztrációja]]
Az első lépés ennek 45°-kal való elfordítása, mely a <math>v_1</math> vektort adja meg. A további iterációk az egyik vagy a másik irányba forgatják a vektort egyre kisebb lépésekkel a kívánt szög eléréséig. A szögek értékei <math>\gamma_i = \text{arctg}\ 2^{-i}</math>, ahol <math>i = 0, 1, 2, \dots</math>.

Formálisabban minden iteráció egy fordítást számít ki, mely a <math>v_i\ R_i</math> [[forgatási mátrix]]szal való szorzását jelenti:
: <math>v_{i+1} = R_i v_i.</math>
A forgatási mátrixot az alábbi képlet adja meg:
: <math>R_i = \begin{bmatrix}
 \cos(\gamma_i) & -\sin(\gamma_i) \\
 \sin(\gamma_i) & \cos(\gamma_i)
\end{bmatrix}.</math>
Az alábbi két trigonometriai azonosság felhasználásával:
: <math>\begin{align} 
 \cos(\gamma_i) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma_i)}}, \\
 \sin(\gamma_i) &= \frac{\tan(\gamma_i)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma_i)}},
\end{align}</math>
a forgatási mátrix ez lesz:
: <math>R_i = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma_i)}} \begin{bmatrix}
 1 & -\tan(\gamma_i) \\
 \tan(\gamma_i) & 1
\end{bmatrix}.</math>
Az elfordított vektor (<math>v_{i+1} = R_i v_i</math>) képlete:
: <math>\begin{bmatrix}
 x_{i+1} \\
 y_{i+1}
\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma_i)}} \begin{bmatrix}
 1 & -\tan(\gamma_i) \\
 \tan(\gamma_i) & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 x_i \\
 y_i
\end{bmatrix},</math>
ahol <math>x_i</math> és <math>y_i</math> <math>v_i</math> koordinátái. A <math>\gamma_i</math> szögek korlátozása <math>\text{tg}\gamma_i=\pm 2^{-i}</math> értékekre a tangenssel való szorzás cserélhető a kettő hatványával való osztásra, mely egy bitekkel való eltolás. A kifejezés ezzé válik:

: <math>\begin{bmatrix}
 x_{i+1} \\
 y_{i+1}
\end{bmatrix} = K_i \begin{bmatrix}
 1 & -\sigma_i 2^{-i} \\
 \sigma_i 2^{-i} & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 x_i \\
 y_i
\end{bmatrix},</math>
ahol
: <math>K_i = \frac{1}{\sqrt{1 + 2^{-2i}}},</math>
és a <math>\sigma_i</math> határozza meg a forgatás szögét: ha <math>\gamma_i</math> pozitív, <math>\sigma_i</math> +1, ellenkező esetben –1.

Minden <math>K_i</math> tényező elhagyható az iterációs folyamatban, majd mind egyszerre alkalmazható <math>K(n)</math> mérettényezővel.
: <math>K(n) = \prod_{i=0}^{n-1} K_i = \prod_{i=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{1 + 2^{-2i}}},</math>
melyet előre kiszámít és táblázatban vagy konstansként tárol fix számú iteráció esetén. Ez a javítás megtehető előre is a <math>v_0</math> méretezésével, mely eggyel csökkenti a szorzások számát. Ezenkívül megjegyezhető, hogy<ref name="Muller 2006"/>
: <math>K = \lim_{n \to \infty} K(n) \approx 0{,}6072529350088812561694,</math>
mely lehetővé teszi az algoritmus összetételének további csökkentését. Egyes esetekben nincs korrekció <math>K</math>-ra, így <math>A</math> mértékű értéknövekedést okozva:<ref name="Andraka 1998">{{cite journal |author-last=Andraka |author-first=Ray |title=A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers |date=1998 |journal=[[Association for Computing Machinery|ACM]] |publisher=Andraka Consulting Group, Inc. |location=North Kingstown, RI, USA |id=0-89791-978-5/98/01 |url=http://www.andraka.com/files/crdcsrvy.pdf |access-date=2016-05-08}}</ref>
: <math>A = \frac{1}{K} = \lim_{n \to \infty} \prod_{i=0}^{n-1} \sqrt{1 + 2^{-2i}} \approx 1{,}64676025812107.</math>
Elegendően sok iteráció után a vektor szöge közel lesz a kívánt <math>\beta</math> szöghöz. A legtöbb általános célhoz 40 iteráció (<math>n=40</math>) elegendő a helyes eredményhez 10 tizedesjegyig.

Ezután az egyetlen megmaradt feladat, hogy a forgatásnak minden iterációban pozitív vagy negatív irányba kell történnie (<math>\sigma</math> értékének választása), mely az egyes iterációkban történő elfordulás számításával és annak a kívánt szögből való kivonásával, majd a szükséges <math>\beta</math> szöghöz való közelítéssel tehető meg: ha <math>\beta_{n+1}</math> pozitív, negatív irányba történik a forgatás, ellenkező esetben pozitívba:
: <math>\beta_0 = \beta </math>
: <math>\beta_{i+1} = \beta_i - \sigma_i \gamma_i, \quad \gamma_i = \arctan(2^{-i}).</math>
<math>\gamma_n</math> értékeit előre kell számítani és tárolni, azonban kis szögek esetén <math>\text{arctg}\ \gamma_n=\gamma_n</math> fixpontos jelölésben, csökkentve a táblázatméretet.

Ahogy a fenti illusztrációban is látható, <math>\sin\beta</math> a végső <math>v_n</math> vektor ''y'' koordinátája, míg az ''x'' koordináta <math>\cos\beta</math>.
===Vektormódszer ===
A fent leírt forgatásos algoritmus bármilyen vektort el tud forgatni bármilyen –90 és +90° közti szöggel. A forgatás iránya függ <math>\beta_i</math> előjelétől.

A vektoros művelet az algoritmus kis módosítását igényli. Egy vektorral kezdődik, melynek ''x'' koordinátája pozitív, ''y'' koordinátája tetszőleges. Az egymást követő forgatások célja a vektor ''x'' tengelyre való forgatása (azaz az ''y'' koordináta 0-ra módosítása). Minden lépésben ''y'' értéke meghatározza a forgatás irányát. <math>\beta_i</math> végső értéke a teljes forgásszög, ''x'' végső értéke az eredeti vektor nagysága ''K''-val méretezve. A vektormódszer hasznos Descartes-koordinátákról polárkoordinátákra váltáshoz.

==Megvalósítások ==

===Szoftveres példa (MATLAB) ===
Alább a CORDIC egy [[MATLAB]]/[[GNU Octave]]-megvalósítása látható, mely nem függ [[transzcendens függvény]]ektől, kivéve táblázatok előszámításában. Ha az iterációk száma előre meg van határozva, a második táblázat konstansra cserélhető. A MATLAB dupla pontosságával és a ''format long'' kimenetével az eredmények pontossága nagyjából 48 iterációig nő.

<syntaxhighlight lang="octave">
function v = cordic(alpha,iteration)
% This function computes v = [cos(alpha), sin(alpha)] (alpha in radians)
% using iteration increasing iteration value will increase the precision.

if alpha < -pi/2 || alpha > pi/2
    if alpha < 0
        v = cordic(alpha + pi, iteration);
    else
        v = cordic(alpha - pi, iteration);
    end
end

% Initialization of tables of constants used by CORDIC
% need a table of arctangents of negative powers of two, in radians:
% angles = atan(2.^-(0:27));
angles =  [  ...
    0.78539816339745   0.46364760900081   0.24497866312686   0.12435499454676 ...
    0.06241880999596   0.03123983343027   0.01562372862048   0.00781234106010 ...
    0.00390623013197   0.00195312251648   0.00097656218956   0.00048828121119 ...
    0.00024414062015   0.00012207031189   0.00006103515617   0.00003051757812 ...
    0.00001525878906   0.00000762939453   0.00000381469727   0.00000190734863 ...
    0.00000095367432   0.00000047683716   0.00000023841858   0.00000011920929 ...
    0.00000005960464   0.00000002980232   0.00000001490116   0.00000000745058 ];
% and a table of products of reciprocal lengths of vectors [1, 2^-2j]:
% Kvalues = cumprod(1./sqrt(1 + 1j*2.^(-(0:23))))
Kvalues = [ ...
    0.70710678118655   0.63245553203368   0.61357199107790   0.60883391251775 ...
    0.60764825625617   0.60735177014130   0.60727764409353   0.60725911229889 ...
    0.60725447933256   0.60725332108988   0.60725303152913   0.60725295913894 ...
    0.60725294104140   0.60725293651701   0.60725293538591   0.60725293510314 ...
    0.60725293503245   0.60725293501477   0.60725293501035   0.60725293500925 ...
    0.60725293500897   0.60725293500890   0.60725293500889   0.60725293500888 ];
Kn = Kvalues(min(iteration, length(Kvalues)));

% Initialize loop variables:
v = [1;0]; % start with 2-vector cosine and sine of zero
poweroftwo = 1;
angle = angles(1);

% Iterations
for j = 0:iteration-1;
    if alpha < 0
        sigma = -1;
    else
        sigma = 1;
    end
    factor = sigma * poweroftwo;
    % Note the matrix multiplication can be done using scaling by powers of two and addition subtraction
    R = [1, -factor; factor, 1];
    v = R * v; % 2-by-2 matrix multiply
    alpha = alpha - sigma * angle; % update the remaining angle
    poweroftwo = poweroftwo / 2;
    % update the angle from table, or eventually by just dividing by two
    if j+2 > length(angles)
        angle = angle / 2;
    else
        angle = angles(j+2);
    end
end

% Adjust length of output vector to be [cos(alpha), sin(alpha)]:
v = v * Kn;
return

endfunction
</syntaxhighlight>
A kétszer kettes mátrixok szorzása egyszerű eltolásokkal és összeadásokkal végezhető el. 
<syntaxhighlight lang="MATLAB">
    x = v[0] - sigma * (v[1] * 2^(-j));
    y = sigma * (v[0] * 2^(-j)) + v[1];
    v = [x;y];
</syntaxhighlight>
Javában a Math osztályban van egy ilyen eltolást végző <code>scalb(double x,int scale)</code> metódus,<ref name="Java Math">{{cite web |title=Class Math |work=Java Platform Standard |edition=8 |date=2018 |orig-date=1993 |publisher=[[Oracle Corporation]] |url=https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/java/lang/Math.html#scalb-double-int- |access-date=2018-08-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20180806221131/https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/java/lang/Math.html |archive-date=2018-08-06}}</ref> C-ben van [[ldexp]] függvény,<ref name="ldexp">{{cite web |title=ldexp, ldexpf, ldexpl |date=2015-06-11 |website=cppreference.com |url=http://en.cppreference.com/w/c/numeric/math/ldexp |access-date=2018-08-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20180806130141/https://en.cppreference.com/w/c/numeric/math/ldexp |archive-date=2018-08-06}}</ref> az x86 processzorosztályban pedig van <code>fscale</code> lebegőpontos művelet.<ref name="Intel 2016">{{cite book |publisher=[[Intel Corporation]] |title=Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Volume 1: Basic Architecture |url=http://www.intel.com/content/dam/www/public/us/en/documents/manuals/64-ia-32-architectures-software-developer-vol-1-manual.pdf |section=Section 8.3.9 Logarithmic, Exponential, and Scale |pages=8–22 |date=September 2016}}</ref>

=== Példa Pythonban ===
<syntaxhighlight lang="python3" line="1" start="1">
from math import atan2, sqrt, sin, cos, pi, radians

ITERS = 16
theta_table = [atan2(1, 2**i) for i in range(ITERS)]

def compute_K(n):
    """
    Compute K(n) for n = ITERS. This could also be
    stored as an explicit constant if ITERS above is fixed.
    """
    k = 1.0
    for i in range(n):
        k *= 1 / sqrt(1 + 2 ** (-2 * i))
    return k

def CORDIC(alpha, n):
    K_n = compute_K(n)
    theta = 0.0
    x = 1.0
    y = 0.0
    P2i = 1  # This will be 2**(-i) in the loop below
    for arc_tangent in theta_table:
        sigma = +1 if theta < alpha else -1
        theta += sigma * arc_tangent
        x, y = x - sigma * y * P2i, sigma * P2i * x + y
        P2i /= 2
    return x * K_n, y * K_n

if __name__ == "__main__":
    # Print a table of computed sines and cosines, from -90° to +90°, in steps of 15°,
    # comparing against the available math routines.
    print("  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine ")
    for x in range(-90, 91, 15):
        cos_x, sin_x = CORDIC(radians(x), ITERS)
        print(
            f"{x:+05.1f}°  {sin_x:+.8f} ({sin_x-sin(radians(x)):+.8f}) {cos_x:+.8f} ({cos_x-cos(radians(x)):+.8f})"
        )

</syntaxhighlight>

==== Kimenet====
<syntaxhighlight lang="console">
$ python cordic.py
  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine
-90.0°  -1.00000000 (+0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)
-75.0°  -0.96592181 (+0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
-60.0°  -0.86601812 (+0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
-45.0°  -0.70711776 (-0.00001098) +0.70709580 (-0.00001098)
-30.0°  -0.50001262 (-0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
-15.0°  -0.25883404 (-0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+00.0°  +0.00001759 (+0.00001759) +1.00000000 (-0.00000000)
+15.0°  +0.25883404 (+0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+30.0°  +0.50001262 (+0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
+45.0°  +0.70709580 (-0.00001098) +0.70711776 (+0.00001098)
+60.0°  +0.86601812 (-0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
+75.0°  +0.96592181 (-0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
+90.0°  +1.00000000 (-0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)
</syntaxhighlight>

===Hardveres példa ===
A [[logikai kapu]]k száma a CORDIC-hoz nagyjából egy szorzóéhoz hasonló, mivel mindkettőben összeadás és eltolás szükséges. A szorzó- vagy CORDIC-alapú megvalósítás választása kontextusfüggő. Két valós és képzetes rész (Descartes-koordináták) által meghatározott komplex szám szorzása 4 szorzást igényel, de a polárkoordináták által meghatározott komplex számoké elvégezhető CORDIC-kal is, különösen ha a számok nagyságrendje nem számít (egy komplex vektor egységkörön lévő vektorral való szorzása forgatást eredményez). A CORDIC-ot gyakran használják telekommunikációs áramkörökben, például [[digitális lekonvertáló]]kban.

== Dupla iterációs CORDIC ==
Vlagyimir Bajkov két publikációjában<ref>{{Cite web |last=Baykov |first=Vladimir |title=The outline (autoreferat) of my PhD, published in 1972 |url=http://baykov.de/CORDIC1972.htm |access-date=2023-05-03 |website=baykov.de}}</ref><ref>{{Cite web |last=Vladimir |first=Baykov |title=Hardware implementation of elementary functions in computers |url=http://baykov.de/Cordic1975.htm |access-date=2023-05-03 |website=baykov.de}}</ref> javasolta a dupla iterációs módszert az árkusz szinusz, az árkusz koszinusz, a természetes logaritmus, az exponenciális és a hiperbolikus függvények számítására. A dupla iterációs módszer, szemben a klasszikus CORDIC módszerrel, ahol az iterációs lépésszám mindig változik, a dupla iterációs módszerben az iteráció sorszáma kétszer ismétlődik, egyszer változik. Így az iterációk sorszámai: <math>i=0, 0, 1, 1, 2, 2\dots</math>, szemben az egyszerű ismétléssel, ahol <math>i=0, 1, 2</math>. A dupla iterációs módszer biztosítja a módszer konvergenciáját az argumentumok változásának érvényes tartományában.

A CORDIC konvergenciaproblémák tetszőleges <math>R</math> alapú helyiértékes számrendszerre való általánosítása megmutatta, hogy a szinusz, koszinusz, árkusz tangens esetén elég <math>R-1</math> iteráció minden ''i'' értékre, vagyis az eredmény minden számjegyére. A természetes logaritmus, exponenciális, szinusz, koszinusz és área tangens hiperbolikusz esetén <math>R</math> iteráció kell minden ''i''-re, illetve két <math>R-1</math> minden számjegyre, vagyis ''i'' minden értékére.<ref>{{Cite web |title=Special-purpose processors: iterative algorithms and structures |url=http://baykov.de/Cordic1985.htm |access-date=2023-05-03 |website=baykov.de}}</ref>

Az área szinusz és koszinusz hiperbolikusz esetén az iterációszám <math>2R</math> minden ''i'', vagyis minden számjegy esetén.

== Kapcsolódó algoritmusok ==
A CORDIC [[eltoló-összeadó algoritmus]], ahogy a logaritmus- és exponenciálisfüggvény-számító algoritmus, melyek Henry Briggs művében szerepelnek. További, sok elemi függvény számítására használható algoritmus a [[BKM algoritmus]], mely a logaritmust és az exponenciális függvényt általánosítja a komplex síkba. Például a BKM felhasználható valós ''x'' radiános szög szinuszának és koszinuszának számításra <math>e^{ix}</math> számításával, mely <math>\cos x+ i \sin x</math>. A BKM algoritmus kissé összetettebb a CORDIC-nál, de nem kell hozzá a ''K'' mérettényező.

==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}

==Források==
* {{cite journal |title=DIVIC Gives Answer to Complex Navigation Questions |author-first=Joseph A.<!-- sometimes erroneously cited as J. M. in literature, but: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/j.2161-4296.1967.tb02211.x https://patentimages.storage.googleapis.com/b2/10/6c/412d125b909281/US3375520.pdf --> |author-last=Parini|date=1966-09-05 |journal=[[Electronics]]|pages=105–111 |issn=0013-5070}} (NB. A ''DIVIC'' jelentése ''DIgital Variable Increments Computer''. Egyes források tévesen J. M. Parininek nevezik a szerzőt.)
* {{cite journal |author-last1=Anderson |author-first1=Stanley F. |author-last2=Earle |author-first2=John G. |author-last3=Goldschmidt |author-first3=Robert Elliott |author-last4=Powers |author-first4=Don M. |title=The IBM System/360 Model 91: Floating-Point Execution Unit |journal=[[IBM Journal of Research and Development]] |volume=11 |issue=1 |publication-date=January 1967 |date=1965-11-01 |location=Riverton, New Jersey, USA |doi=10.1147/rd.111.0034 |pages=34–53 |url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/ibmrd1101E.pdf |access-date=2016-01-02 |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160305034314/http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/ibmrd1101E.pdf |archivedate=2016-03-05 }}
* {{cite book |title=An Interconnect Processor with Emphasis on CORDIC Mode Operation |author-first=Michael A. |author-last=Liccardo |date=September 1968 |type=MSc thesis |publisher=[[University of California, Berkeley]], Department of Electrical Engineering |location=Berkeley, CA, USA |oclc=500565168 }}
* {{US patent|3576983A |status=patent |title=Digital calculator system for computing square roots |pubdate=1971-05-04 |gdate=1971-05-04 |fdate=1968-10-02 |pridate=1968-10-02 |inventor1-first=David S. |inventor1-last=Cochran |assign1=[[Hewlett-Packard Co.]]|url=http://www.google.com/patents/US3576983}} ([http://www.google.com/patents/US3576983])
* {{cite journal |author-first=Tien Chi |author-last=Chen |author-link=Tien Chi Chen |title=Automatic Computation of Exponentials, Logarithms, Ratios, and Square Roots |journal=[[IBM Journal of Research and Development]] |date=July 1972 |volume=16 |issue=4 |issn=0018-8646 |doi=10.1147/rd.164.0380 |pages=380–388 |url=http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/chen.pdf |access-date=2016-01-02 |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160812131940/http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/chen.pdf |archivedate=2016-08-12 }}
* {{cite journal |author-first=William<!-- Bill --> E. |author-last=Egbert |title=Personal Calculator Algorithms I: Square Roots |journal=[[Hewlett-Packard Journal]] |publisher=[[Hewlett-Packard]] |location=Palo Alto, California, USA |volume=28 |issue=9 |date=May 1977 |pages=22–24 |url=http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1977-05.pdf |access-date=2016-01-02 |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151218024130/http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1977-05.pdf |archivedate=2015-12-18 }} ([http://www.hparchive.com/Journals/HPJ-1977-05.pdf])
* {{cite journal |author-first=William<!-- Bill --> E. |author-last=Egbert |title=Personal Calculator Algorithms II: Trigonometric Functions |journal=[[Hewlett-Packard Journal]] |publisher=[[Hewlett-Packard]] |location=Palo Alto, California, USA |volume=28 |issue=10 |date=June 1977 |pages=17–20 |url=http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1977-06.pdf |access-date=2016-01-02 |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304113302/http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1977-06.pdf |archivedate=2016-03-04 }} ([http://www.hparchive.com/Journals/HPJ-1977-06.pdf])
* {{cite journal |author-first=William<!-- Bill --> E. |author-last=Egbert |title=Personal Calculator Algorithms III: Inverse Trigonometric Functions |journal=[[Hewlett-Packard Journal]] |publisher=[[Hewlett-Packard]] |location=Palo Alto, California, USA |volume=29 |issue=3 |date=November 1977 |pages=22–23 |url=http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1977-11.pdf |access-date=2016-01-02 |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304110115/http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1977-11.pdf |archivedate=2016-03-04 }} ([http://www.hparchive.com/Journals/HPJ-1977-11.pdf])
* {{cite journal |author-first=William<!-- Bill --> E. |author-last=Egbert |title=Personal Calculator Algorithms IV: Logarithmic Functions |journal=[[Hewlett-Packard Journal]] |publisher=[[Hewlett-Packard]] |location=Palo Alto, California, USA |volume=29 |issue=8 |date=April 1978 |pages=29–32 |url=http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1978-04.pdf |access-date=2016-01-02 |accessdate=2023-07-31 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304050327/http://www.hpl.hp.com/hpjournal/pdfs/IssuePDFs/1978-04.pdf |archivedate=2016-03-04 }} ([http://www.hparchive.com/Journals/HPJ-1978-04.pdf])
* {{cite journal |author-last=Senzig |author-first=Don |title=Calculator Algorithms |journal=IEEE Compcon Reader Digest |id=IEEE Catalog No. 75 CH 0920-9C |pages=139–141 |publisher=[[IEEE]] |date=1975}}
* {{cite book|author-first=Vladimir D.<!-- В. Д. --> |author-last=Baykov<!-- Байков --> |trans-title=Problems of elementary functions evaluation based on digit by digit (CORDIC) technique |script-title=ru:Вопросы исследования вычисления элементарных функций по методу «цифра за цифрой» |language=ru |type=PhD thesis |publisher=Leningrad State University of Electrical Engineering |date=1972 |url=http://baykov.de/cordic1972.htm}}
* {{cite book |author-first1=Vladimir D.<!-- В. Д. --> |author-last1=Baykov<!-- Байков --> |author-first2=Vladimir B.<!-- В. Б. --> |author-last2=Smolov<!-- Смолов --> |trans-title=Hardware implementation of elementary functions in computers |script-title=ru:Аппаратурная реализация элементарных функций в ЦВМ |title=Apparaturnaja realizatsija elementarnikh funktsij v CVM |language=ru |publisher=Leningrad State University |date=1975<!-- 96 pages --> |url=http://baykov.de/cordic1975.htm |access-date=2019-03-02 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190302110929/http://baykov.de/Cordic1975.htm |archive-date=2019-03-02}}
* {{cite book |author-first1=Vladimir D.<!-- В. Д. --> |author-last=Baykov<!-- Байков --> |author-first2=S. A.<!-- С. А. --> |author-last2=Seljutin<!-- Селютин --> |trans-title=Elementary functions evaluation in microcalculators |script-title=ru:Вычисление элементарных функций в ЭКВМ |language=ru |location=Moscow |publisher=Radio i svjaz (Радио и связь) |date=1982}}
* {{cite book |author-first1=Vladimir D.<!-- В. Д. --> |author-last1=Baykov<!-- Байков --> |author-first2=Vladimir B.<!-- В. Б. --> |author-last2=Smolov<!-- Смолов --> |trans-title=Special-purpose processors: iterative algorithms and structures |script-title=ru:Специализированные процессоры: итерационные алгоритмы и структуры |language=ru |location=Moscow |publisher=Radio i svjaz (Радио и связь) |date=1985 |url=http://baykov.de/cordic1985.htm}}
* {{cite journal |title=CORDIC constants in TI 58/59 ROM |journal=Texas Instruments Software Exchange Newsletter |editor-first=Thomas |editor-last=Coppens |volume=2 |issue=2 |date=January<!-- January/February/March --> 1980 |publisher=TISOFT |location=Kapellen, Belgium}}
* {{cite journal |title=Natural logarithm computation scheme / e<sup>x</sup> computing scheme / 1/x computing scheme |journal=Texas Instruments Software Exchange Newsletter |editor-first=Thomas |editor-last=Coppens |volume=2 |issue=3 |date=April–June 1980 |publisher=TISOFT |location=Kapellen, Belgium}} (about CORDIC in [[TI-58]]/[[TI-59]])
* {{cite news |title=Transcendental function algorithms |author=TI Graphic Products Team |date=1995 |orig-date=1993 |publisher=[[Texas Instruments]], Consumer Products |location=Dallas, Texas, USA |url=https://perso.uclouvain.be/alphonse.magnus/num1a/cordic.txt<!-- former original links: http://devil.ece.utexas.edu/cordic.html, ftp://ftp.ti.com/pub/graph-ti/calc-apps/info/cordic.txt 2016-01-02 --> |access-date=2019-03-02 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160317004110/https://perso.uclouvain.be/alphonse.magnus/num1a/cordic.txt |archive-date=2016-03-17}}
* {{cite book |author-first1=Günter |author-last1=Jorke |author-first2=Bernhard |author-last2=Lampe |author-first3=Norbert |author-last3=Wengel |title=Arithmetische Algorithmen der Mikrorechentechnik |edition=1 |publisher=[[:de:VEB Verlag Technik|VEB Verlag Technik]] |location=Berlin, Germany |date=1989 |language=de |pages=219, 261, 271–296 |isbn=3341005153 |id={{EAN|9783341005156}}. MPN 5539165. License 201.370/4/89 |url=https://books.google.com/books?id=DqYWAQAAMAAJ |access-date=2015-12-01}}
* {{cite book |author-first=M. |author-last=Zechmeister |title=Solving Kepler's equation with CORDIC double iterations |journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society |year=2021 |volume=500 |publisher=Institut für Astrophysik, Georg-August-Universität |location=Göttingen, Germany |pages=109–117|doi=10.1093/mnras/staa2441 |arxiv=2008.02894 }}
* {{cite book |author-first=Marvin E. |author-last=Frerking |title=Digital Signal Processing in Communication Systems |date=1994 |edition=1}}<!-- Springer US, softcover reprint of hardcover 1st ed. 1994 (2010) ISBN 144194740X / 978-1441947406 -->
* {{cite journal |author-first=Vitit |author-last=Kantabutra |title=On hardware for computing exponential and trigonometric functions |journal=[[IEEE Transactions on Computers]] |volume=45 |issue=3 |pages=328–339 |date=1996|doi=10.1109/12.485571 }}
* {{cite book |title=Low Power and Low Complexity Shift-and-Add Based Computations |chapter=6.5 Sine and Cosine Functions |author-first=Kenny |author-last=Johansson |series=Linköping Studies in Science and Technology |date=2008 |type=Dissertation thesis |id=No. 1201 |publisher=Department of Electrical Engineering, [[Linköping University]]<!-- printed by LiU-Tryck --> |publication-place=Linköping, Sweden |edition=1 |isbn=978-91-7393-836-5 |issn=0345-7524 |pages=244–250 |url=https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1733/FULLTEXT02.pdf |access-date=2021-08-23 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170813200504/http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1733/FULLTEXT02.pdf |archive-date=2017-08-13}} (x+268 pages)
* {{cite journal |author-first=Ayan |author-last=Banerjee |title=FPGA realization of a CORDIC based FFT processor for biomedical signal processing |journal=Microprocessors and Microsystems |volume=25 |issue=3 |pages=131–142 |location=Kharagpur, West Bengal, India |date=2001 |doi=10.1016/S0141-9331(01)00106-5}}
* {{cite web |title=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials |author-first=William Morton |author-last=Kahan |author-link=William Morton Kahan |date=2002-05-20 |publisher=[[University of California]] |location=Berkeley, CA, USA |url=http://www.cims.nyu.edu/~dbindel/class/cs279/logexp.pdf |access-date=2016-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151225080205/http://cims.nyu.edu/%7Edbindel/class/cs279/logexp.pdf |archive-date=25 December 2015 |url-status=dead }}
* {{cite web |title=Implementation of a CORDIC Algorithm in a Digital Down-Converter |author-first=Chris K. |author-last=Cockrum |year=2008 |url=https://cockrum.net/Cockrum_Fall_2008_Final_Paper.pdf}}
* {{cite journal |title=CORDIC Architectures: A Survey |author-first1=Boppana |author-last1=Lakshmi |author-first2=Anindya Sundar |author-last2=Dhar |publisher=Department of Electronics and Electrical Communication Engineering, Indian Institute of Technology |location=Kharagpur, West Bengal, India |journal=VLSI Design |volume=2010 |pages=1–19 |publication-date=2010-10-10 |date=2009-10-06 |id=794891 |doi=10.1155/2010/794891 |doi-access=free }}
* {{cite web |title=Advanced Arithmetic Techniques |author-first=John J. G. |author-last=Savard |date=2018 |orig-date=2006 |work=quadibloc |url=http://www.quadibloc.com/comp/cp0202.htm |access-date=2018-07-16 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20180703001722/http://www.quadibloc.com/comp/cp0202.htm |archive-date=2018-07-03}}

==További információk==
* {{cite web|title=CORDIC Bibliography Site |author-first=Shaoyun |author-last=Wang |date=July 2011 |url=http://cordic-bibliography.blogspot.com/2011/07/cordic-bibliography-site-revive.html}}
* [https://github.com/srohit0/CORDIC Soft CORDIC IP (verilog HDL code)]
* [https://web.archive.org/web/20001017173921/http://devil.ece.utexas.edu/ ''CORDIC Bibliography Site'']
* [http://www.emesystems.com/BS2mathC.htm BASIC Stamp, CORDIC math implementation]
* [http://srohit.googlepages.com CORDIC implementation in verilog]
* [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=626526.627179 CORDIC Vectoring with Arbitrary Target Value]
* [http://www.picbasic.co.uk/forum/showthread.php?p=70269#post70269 PicBasic Pro, Pic18 CORDIC math implementation]
* [http://code.activestate.com/recipes/576792 Python CORDIC implementation] {{Wayback|url=http://code.activestate.com/recipes/576792 |date=20170317235046 }}
* [http://www.dcs.gla.ac.uk/~jhw/cordic/ Simple C code for fixed-point CORDIC]
* [http://luminouslogic.com/dsp-simple-phase-estimation-approximation-cordic-matlab.htm Tutorial and MATLAB Implementation – Using CORDIC to Estimate Phase of a Complex Number]
* [http://bibix.nl/index.php?menu1=arx_ip Descriptions of hardware CORDICs in Arx with testbenches in C++ and VHDL]
* [https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/an-introduction-to-the-cordic-algorithm/ An Introduction to the CORDIC algorithm]
* [https://groups.google.com/forum/#!msg/comp.arch.fpga/NxZxkmUoE54/zp8MvF_uVf0J 50-th Anniversary of the CORDIC Algorithm]
*CORDIC-implementációk: [https://www.st.com/content/ccc/resource/technical/document/design_tip/group0/9c/20/c6/67/50/10/4e/9d/DM00441302/files/DM00441302.pdf/jcr:content/translations/en.DM00441302.pdf fixed point C code for trigonometric and hyperbolic functions], [https://www.st.com/content/ccc/resource/technical/document/design_tip/group0/ec/b8/82/cc/a0/e5/49/0d/DM00446487/files/DM00446487.pdf/jcr:content/translations/en.DM00446487.pdf C code for test and performance verification]
{{nemzetközi katalógusok}}

[[Kategória:Algoritmusok]]