Càdlàg forrásának megtekintése

A [[Matematika|matematikában]] a '''càdlàg''' (francia: "continue à droite, limitée à gauche" kifejezés), '''RCLL''' (angol: "right continuous with left limits") vagy '''corlol''' ("continuous on (the) right, limit on (the) left") mind az olyan [[valós számok]]on (vagy azok egy [[részhalmaz]]án) értelmezett folytonos függvények jelölésére szolgáló rövidítés, amelyek az értelmezési tartományuk valamennyi pontjában jobbról [[folytonos függvény|folytonosak]] és ugyanitt létezik a bal oldali [[függvény határértéke|határértékük]]. A kifejezés elterjedt a matematikai függvénykalkulus területén és nem szokás magyar megfelelővel helyettesíteni {{forrás?}}. olykor az egyszerűség kedvéért az eredeti ''càdlàg'' írásmód helyett az ékezetek nélküli ''cadlag'' kifejezést használják a magyar irodalmakban. A càdlàg függvények az olyan [[sztochasztikus folyamat]]ok tanulmányozásában töltenek be fontos szerepet, melyekben elfogadott (néha követelmény) ugrások jelenléte, nem úgy mint pl. a [[Brown-mozgás]] esetén, amelynek pályái folytonosak. Egy adott [[Függvény (matematika)|tartományon]]<!--A magyar Wikin itt van szó értelmezési tartományról--> értelmezett càdlàg függvények családját '''Skorokhod tér'''nek nevezzük.

== Definíció ==
[[Fájl:Discrete probability distribution illustration.png|right|thumb|Az [[eloszlásfüggvény]]ek például càdlàg függvények.]]

Legyen <math>(M, d)</math> egy [[metrikus tér]] és legyen <math>E \subseteq \mathbb{R}</math>. Egy <math>f : E \to M</math> függvényt '''càdlàg függvény'''nek nevezünk, ha <math>\forall t\in E</math> esetén
* az <math>f(t-) := \lim_{s\uparrow t} f(s)</math> [[bal oldali határérték]] létezik és
* az <math>f(t+) := \lim_{s\downarrow t} f(s)</math> [[jobb oldali határérték]] létezik és megegyezik <math> f(t)</math>-vel.
Azaz definíció szerint <math>f</math> jobbról folytonos és rendelkezik bal oldali határértékekkel.

== Példák ==

* Minden folytonos függvény càdlàg.
* Definíciójuk szerint minden [[eloszlásfüggvény]] càdlàg függvény.

== Skorokhod tér ==

Az összes <math>f: E\rightarrow M</math> càdlàg függvények terét gyakran <math>D(E;M)</math> jelöli (vagy egyszerűbben <math>D</math>) és ezt '''Skorokhod-tér'''nek nevezzük [[Anatolij Skorokhod]] [[Ukrajna|ukrán]] [[matematikus]] után. A Skorokhod tereket [[topologikus tér|topológiával]] láthatjuk el, amellyel intuitíven "csavarhatunk egy kicsit a téren és időn" (míg a hagyományos [[uniform norma]] topológiában csak "a téren csavarhatunk egy kicsit". Az egyszerűség kedvéért tekintsük a <math>E = [0,T]</math> és <math>M=\mathbb{R}^n</math> halmazokat — lásd Billingsley általánosabb konstrukcióért.

Először definiálnunk kell a [[folytonossági modulus]] megfelelőjét, <math>\varphi'_{f} (\delta)</math>. Minden <math> F\subseteq E</math> halmazra legyen

:<math>w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |</math>

és <math>\forall \delta>0</math> legyen a '''càdlàg''' modulus

:<math>\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),</math>

ahol az [[infimum]] az összes <math>\Pi = \{ 0=t_{0}<t_{1} <\dots < t_{k} = T\},\quad k\in \mathbb{N}</math> partíción fut úgy, hogy <math>\max_{i} (t_{i} - t_{i - 1}) < \delta</math>. Ez a definíció értelmes nem-càdlàg <math>f</math> függvényekre is (ahogy a hagyományos folytonossági modulus is értelmes nem folytonos függvényekre) és megmutatható hogy <math>f</math> [[akkor és csak akkor]] càdlàg, ha <math>\varpi'_{f}(\delta)\to 0</math> ahogy <math>\delta\to 0</math>.

Jelölje most <math>\Lambda</math> az összes [[szigorúan monoton növő]], folytonos, <math>E\rightarrow E</math> [[bijekció]]k halmazát (ezek az "idő csavarásai"). Legyen

:<math>\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |</math>

a függvények uniform normája <math>E</math>-n. Definiáljuk a <math>\sigma</math> '''Skorokhod-metrikát''' <math>D</math>-n a következőképpen:

:<math>\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \}</math>,

ahol <math>I : E \to E</math> az identitás. A "csavarás" intuícióval élve, <math>\| \lambda - I \|</math> méri az "időcsavarás" mértékét és <math>\|f-g\circ\lambda\|</math> méri a "tércsavarás" mértékét.

Megmutatható, hogy a Skorokhod-[[metrika (matematika)|metrika]] valóban metrika. A <math>\Sigma</math> topológiát amit <math>\sigma</math> generál, nevezzük '''Skorokhod-topológiának''' <math>D</math>

== A Skorokhod-terek tulajdonságai ==
=== Az uniform topológia általánosítása ===

Az ''E''-n értelmezett folytonos függvények ''C'' tere egy [[altér topológia|altér]] ''D'-n. A ''C''-hez viszonyított Skorokhod topológia érintkezik ezen a halmazon az uniform topológiával.

=== Teljesség ===

Megmutatható, hogy bár ''D'' nem [[teljes tér]] a <math>\sigma</math> Skorokhod-metrikára nézve, létezik [[metrika (matematika)#Metrikák ekvivalenciája|topologikusan ekvivalens metrika]] <math>\sigma_0</math> amire nézve ''D'' teljes.

=== Szeparábilitás ===

Mind ''σ''-ra, mind ''σ''<sub>0</sub>-ra nézve ''D'' egy [[szeparábilis tér]]. Így a Skorokhod-terek [[Lengyel terek]].

=== Feszesség Skorokhod-terekben ===
Az [[Arzelà-Ascoli-tétel]] segítségével megmutatható, hogy a ''D'' Skorokhod-téren értelmezett [[valószínűségi mérték]]ek egy <math>(\mu_{n})_{n = 1}^{\infty}</math> sorozata [[mérték feszessége|feszes]] akkor és csak akkor, ha a következő feltételek mindegyike teljesül:

:<math>\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \| f \| \geq a \} = 0,</math>

és

:<math>\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.</math>

=== Algebrai és topológiai struktúra ===
A Skorokhod-topológia és a függvények pontonkénti összeadása felett ''D'' nem alkot topologikus csoportot.

== Források ==

* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Probability and Measure | url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1995 | isbn=0-471-00710-2}}
* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Convergence of Probability Measures | url=https://archive.org/details/convergenceofpro0000bill | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1999 | isbn=0-471-19745-9}}

== Fordítás ==

*{{fordítás|en|Càdlàg}}

{{DEFAULTSORT:Cadlag}}
[[Kategória:Valós analízis]]
[[Kategória:Sztochasztikus folyamatok]]