1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia forrásának megtekintése

Az '''1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát''' ([[1959]]) [[Románia|Romániában]], [[Brassó]]ban rendezték. Hét ország ötvenkét versenyzője vett részt rajta. Magyarország egy arany-, egy ezüst-, két bronzérmet és egy dicséretet szerzett, összpontszámával pedig 2. lett az országok között. <br />''(Az elérhető maximális pontszám: 8×40=320 pont volt)''

==Feladatok==
===1.===
Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is <math>n</math> – a következő tört nem egyszerűsíthető: <math>\frac{21n+4}{14n+3}</math>

===2.===
Milyen <math>x</math> valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:
:<math>a)</math> <math>\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt2</math>
:<math>b)</math> <math>\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1</math>
:<math>c)</math> <math>\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2</math>

===3.===
Tudjuk, hogy
:<math>a\cos^{2}(x)+b\cos(x)+c\;=\;0</math>
Mutassunk másodfokú egyenletet <math>\cos(2x)</math>-re úgy, hogy együtthatói csak az <math>a,b,c</math> számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be <math>a=4</math>, <math>b=2</math> és <math>c=-1</math>-et.

===4.===
Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével.

===5.===
Az <math>AB</math> szakaszon mozog az<math>M</math> pont. Az <math>AM</math> és <math>MB</math> szakaszok fölé az <math>AB</math> egyenes ugyanazon oldalára az <math>AMCD</math> és a <math>BMEF</math> négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör <math>M</math>-ben és <math>N</math>-ben metszi egymást.

Mutassuk meg, hogy az <math>AE</math> és a <math>BC</math> egyenes is átmegy az <math>N</math> ponton. Mutassuk meg, hogy minden <math>M</math>-re az <math>MN</math> egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja?

===6.===
A <math>P</math> és <math>Q</math> sík egymást a <math>p</math> egyenesben metszi, és <math>A</math> a <math>P</math> síknak, <math>C</math> a <math>Q</math> síknak olyan pontja, amely nincs rajta <math>p</math>-n. Szerkesszük meg azt az <math>ABCD</math> húrtrapézt (<math>AB\| CD</math>), melynek <math>B</math> csúcsa <math>P</math>-n, <math>D</math> csúcsa a <math>Q</math> síkban van, s amelybe kört írhatunk.

== Országok eredményei pont szerint ==
{|{{széptáblázat}} cellpadding=3
!||Ország||Pont||[[Fájl:Gold medal with cup.svg|16x16px]]||[[Fájl:Silver medal with cup.svg|16x16px]]||[[Fájl:Bronze medal with cup.svg|16x16px]]||D<ref>Dicséret</ref>
|-align=center
|1.||align=left|'''{{Románia}}'''||align=right|249||1||2||2||1
|-align=center
|2.||align=left|''{{Magyarország}}''||align=right|233||1||1||2||1
|-align=center
|3.||align=left|{{Csehszlovákia}}||align=right|192||1||0||0||4
|-align=center
|4.||align=left|{{Bulgária}}||align=right|131||0||0||0||1
|-align=center
|5.||align=left|{{Lengyelország}}||align=right|122||0||0||0||1
|-align=center
|6.||align=left|{{Szovjetunió}}<ref>4 fővel indult.</ref>|| align="right" |111||0||0||1||2
|-align=center
|7.||align=left|{{NDKr}}||align=right|40||0||0||0||0
|}
Összesen hét országból indultak versenyzők.

== A magyar csapat ==
A magyar csapat tagjai voltak:

{| {{széptáblázat}} cellpadding=3
!Név||Évfolyam||Iskola||Város||Díj
|- align ="center" |
|align=left|Csanak György||IV. o.||[[Fazekas Mihály Gimnázium (Debrecen)|Fazekas Mihály Gimnázium]]||Debrecen||[[Fájl:Gold medal with cup.svg|16x16px]]
|- align ="center" |
|align=left|[[Halász Gábor (matematikus)|Halász Gábor]]||IV. o.||II. Rákóczi Ferenc Gimnázium||Budapest||[[Fájl:Silver medal with cup.svg|16x16px]]
|- align ="center" |
|align=left|[[Bollobás Béla (matematikus)|Bollobás Béla]]||II. o.||[[ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium|Apáczai Csere János Gyakorlógimnázium]]||Budapest||[[Fájl:Bronze medal with cup.svg|16x16px]]
|- align ="center" |
|align=left|Muszély György||III. o.||[[Vörösmarty Mihály Gimnázium (Budapest)|Vörösmarty Mihály Gimnázium]]||Budapest||[[Fájl:Bronze medal with cup.svg|16x16px]]
|- align ="center" |
|align=left|[[Szász Domokos (matematikus)|Szász Domokos]]||IV. o.||[[Eötvös József Gimnázium (Budapest)|Eötvös József Gimnázium]]||Budapest||dicséret
|- align ="center" |
|align=left|[[Katona Gyula (matematikus)|Katona Gyula]]||IV. o.||Kandó Kálmán Híradás- és<br />Műszeripari Technikum||Budapest||
|- align ="center" |
|align=left|Mezei Ferenc||III. o.|| II. Rákóczi Ferenc Gimnázium||Budapest||
|- align ="center" |
|align=left|Tihanyi Ambrus||III. o.|| Apáczai Csere János Gyakorlógimnázium||Budapest||
|}
A csapat vezetője [[Hódi Endre]] volt.

== Jegyzetek ==
{{Jegyzetek}}

== Források ==
* {{Reiman-Dobos Nemzetközi matematikai diákolimpiák}}

== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Nemzetközi Matematikai Diákolimpia]]
* [[Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák listája]]
* [[A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák magyar versenyzői]]

==További információk==
* [http://www.imo-official.org/ Az IMO hivatalos honlapja]
* {{Wikikönyvek-natúr}}

{{Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák}}

{{DEFAULTSORT:1nemzetközimatematikaidiákolimpia}}
[[Kategória:1959|Nemzetközimatematikaidiákolimpia]]
[[Kategória:Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák]]