0,999… forrásának megtekintése

{{kiemelt}}
[[Fájl:999 Perspective 2.svg|300px|jobbra|bélyeg|A 0,999... ábrázolása]]

A [[matematika|matematikában]] a '''0,999…''' végtelen szakaszos tizedestört, amelyet még

: <math>0{,}\bar{9}, </math> &nbsp; <math>0{,}\dot{9}</math> vagy <math>\ 0{,}(9)</math>

alakban is írnak. Érdekessége, hogy [[1 (szám)|eggyel]] egyenlő, minthogy az 1 számnak két [[tizedestört]] előállítása is van, az

: 1,000… és a
: 0,999…

Más szavakkal a '0,999…' szimbólum ugyanazt a számot jelöli, mint az '1' szimbólum. Magának az 1 = 0,999… egyenlőségnek (illetve az ilyen típusú egyenlőségeknek) sokféle bizonyítása ismert, ezek a szigorúság különböző fokán állnak, attól függően, hogy középiskolások vagy felsőbb tanulmányokat folytatók számára készültek.

Az utóbbi évtizedekben a matematikapedagógusok vizsgálatokat végeztek arra vonatkozóan, hogy a tanulók mennyire fogadják el az 1 = 0,999… típusú egyenlőségeket. A felmérések szerint a tanulók közül sokan alapvetően megkérdőjelezik vagy elutasítják az egyenlőség fennállását, sokakat pedig a tankönyvek, a tanárok és aritmetikai érvelések meggyőznek arról, hogy igaz a szóban forgó egyenlőség. Mindazonáltal gyakorta ragaszkodnak ahhoz, hogy az állítás igazsága további igazolásra szorul. A diákok érvelése (akár az állítás cáfolásakor, akár igazolásakor) általában a [[valós számok]]kal kapcsolatos néhány intuitív elképzelés körül csoportosul. Például, hogy minden egyes számnak egyetlen tizedestört alakja van.
Egy másik elképzelés, hogy az 1 a 0,999…-től végtelen kicsiben különbözik, ahol a különbség az infinitezimális egység.

== Definíció ==

A 0,999… az a szám, amely a 0; 0,9; 0,99; 0,999, … sorozat határértéke. E sorozat n-edik elemében n–1 kilences van a tizedesvessző után. Így az az állítás, hogy 0,999… = 1, egyenértékű azzal, hogy ez a sorozat az egyhez tart.

A [[határérték]] létezik, hiszen a sorozat monoton növekvő (az ''n''+1-edik tag 9{{e|-n}}-nel nagyobb az ''n''-ediknél) és felülről korlátos (az 1 jó felső korlát).

== A 0,999… = 1 állítás ==
A 0,999… végtelen tizedestört, és az állítás néhány nagyon egyszerű bizonyítása kihasználja a tízes számrendszer aritmetikai tulajdonságait. Az összehasonlítás alaptulajdonsága: két véges tizedestört, aminek különbözőek a jegyeik, különböző számot jelent, eltekintve az utánuk írt nulláktól.
Az 1 nem kitüntetett szám abban az értelemben, hogy csak ő rendelkezne két tizedestört alakkal. Minden véges tizedestört alakban írható szám kétféleképpen is megadható. Például:

: <math>\frac{6}{5}=1{,}2000\dots = 1{,}1999\dots\,</math>

Továbbá a valós számok végtelen sor alakjában való felírása, mint amely maga a 0,999… kifejezés is, a tízestől különböző számrendszerben sem feltétlenül egyértelmű. Minden számrendszerben vannak olyan valós számok, melyek többféleképpen írhatók fel az adott számrendszerben, mi több, ez még a tört és irracionális alapú számrendszerekben is így van. A jelenség alkalmazásaként megemlíthetjük a [[0,999…#Alkalmazásai|Cantor-halmazra]] vonatkozó vizsgálatokat.
Speciálisan, bármely 0,99…9 alakú szám egynél kisebb, ha véges sok kilences van benne.

=== Kételkedők és érveik ===

Még a matematika szakos hallgatók is gyakran kételkednek 0,999… és 1 egyenlőségében. Az okok között szerepel a [[határérték]] szabatos fogalmától való makacs idegenkedésük és az infinitezimális mennyiségek természetéről való – a bevett nézethez képest – másként gondolkodásuk.
A zavart több közös tényező fokozza:

* Úgy látják, hogy minden valós számnak egyféle tizedestört alakja van. Számukra az a jelenség, hogy egy számnak két lényegesen eltérő tizedestört alakja van, paradoxnak tűnik, zavarukat csak fokozza, hogy pont az 1-ről van szó, amiről azt gondolják, hogy ennek természetét már jól ismerik.<ref name="autogenerated6">Bunch p. 119; Tall and Schwarzenberger p. 6. Az utóbbi megjegyzés Burrelltől (p. 28): <!--"Perhaps the most reassuring of all numbers is 1. …So it is particularly unsettling when someone tries to pass off 0.9~ as 1."--> ''Talán a legmegbízhatóbb szám az 1, így különösen lesújtó, ha valaki a 0,999…-et 1-ként értelmezi.''</ref>
* Néhányan úgy értelmezik a "0,999…" alakot, mint ami sok, de véges sok 9-esből áll, melyek darabszáma esetleg változó vagy határozatlanul nagy. Ha pedig mégis elfogadják a végtelen sok 9-est, akkor pedig egy utolsó 9-est képzelnek valahová a végtelenbe.<ref name="autogenerated13">Tall és Schwarzenberger pp. 6–7; Tall 2000 p. 221</ref>
* A határérték fogalmának [[Intuíció|intuitív]] vagy homályos bevezetése, feltételezése az oktatásban ahhoz vezethet, hogy a hallgatók a határérték megadását inkább valamiféle végtelen eljárásnak fogják fel, mint egy konkrét értékre való rámutatásnak, előtérbe helyezve azt a jelenséget, hogy a sorozatnak nem kell elérnie határértékét. Amikor a sorozat és határértékének különböző volta a hallgatók számára világos, akkor intuitív tárgyalás esetén számukra a "0,999…" szimbólum sokkal inkább sorozat, mint határérték.<ref>Tall és Schwarzenberger p. 6; Tall 2000 p. 221</ref>
* Egyesek a 0,999…-et rögzített értéknek fogják fel, ami egy infinitezimális mértékű mennyiséggel kisebb 1-nél.
* Mások meggyőződése, hogy egy [[Konvergencia (matematika)|konvergens sor]] összege legjobb esetben is csak közelítés, azaz 0,999… ≈ 1.

Mindezen szemléletek a valós számok hagyományos értelmezésében hibás gondolatmenetek alapjai, ám néhány közülük érvényes lehet más számkörökben, például a nemsztenderd valós számok elméletében. Hasznosak lehetnek továbbá akár általános matematikai értelemben, akár tanulságos ellenpéldaként tekintve, ami a 0,999… jobb megértéséhez vezethet.

Nagy részükkel David Tall is találkozott, amikor a tanulást és a gondolkodást tanulmányozta hallgatói körében. Úgy találta, hogy a hallgatók azért utasították el először ennek az egyenlőségnek a gondolatát, mert a 0,999… számot egy olyan sorozatnak látták, amely egyre inkább megközelíti az 1-et, és nem egy rögzített értékként.

A következő vélemények is felmerültek:

* A 0,999… szám a legnagyobb végtelen tizedestört, ami kisebb 1-nél.
* Nem határozhatod meg, hogy hány tizedesjegye van.<ref>Tall 2000 p. 221</ref>

Legtöbbjük meggyőzhető az elemi bizonyítások segítségével, de vannak, akik továbbra is kételkednek és frusztrálódnak.<ref>Tall 1976 pp. 10–14</ref> A hallgatók, akik képesek precíz definíciókat alkalmazni, egy meglepő eredmény láttán automatikusan újra az intuitív képek hatása alá kerülnek, így a kevésbé elemi bizonyításokat sem mindig értik meg.

Egy valós analízist tanuló hallgató például képes volt belátni, hogy <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> = 0,333… a [[szuprémum]] segítségével, de még mindig ellenállt a 0,999… = 1 egyenlőségnek, a hosszú osztásra vonatkozó tapasztalataira hagyatkozva.<ref>Pinto and Tall p. 5, Edwards és Ward pp. 416–417</ref> Mások, akik szintén be tudják bizonyítani, hogy <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> = 0,333…, még mindig nem érzik megfelelőnek a törteket használó bizonyítást, mondván, hogy a logika fontosabb a matematikában, mint a számítások.

Joseph Mazur mesélte, hogy volt egy egyébként kitűnő hallgatója, aki majdnem mindenben kételkedett, amit az oktatója mondott, de mindig hitt a számológépének. Azt hitte, hogy 9 tizedesjegy elég a matematikához, még ahhoz is, hogy kiszámolja 23 négyzetgyökét. Képtelen volt megérteni a 9,99… = 10 határértékes bizonyítását, és „vadul elképzelt végtelen növekvő sorozatnak” nevezte.<ref>Mazur pp. 137–141</ref>

Ed Dubinsky és Tsai elmélete szerint, akik a 0,999… számot véges, de meghatározatlanul hosszúnak fogják fel, amely egy végtelenül kis mennyiséggel kisebb 1-nél, azok nem értették meg a végtelen tizedestörteket eredményező végtelen sorokat. Megint mások a sor és sorösszeg fogalmát nem képesek megkülönböztetni. Számukra a 0,999… egy sort (tehát egy számítási eljárást és nem sorösszeget, vagyis számot) jelöl, míg az 1 az szám, azaz nem ugyanolyan minőségű, így nem lehetnek egyenlők.<ref>Dubinsky ''et al.'' 261–262</ref>

=== Bizonyítás ===
==== Egyszerű bizonyítás ====
Ha <math>1/3 = 0{,}333\dots</math>, akkor <math>3/3 = 0{,}999\dots</math>. Mivel <math>3/3 = 1</math>, ezért <math>0{,}999\dots = 1</math>

==== Algebrai bizonyítások ====
===== Bizonyítás törtekkel =====

A törtek felírhatók véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban. Így például <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> egyenlő lesz a 0,333… végtelen szakaszos tizedestörttel, amiben a 3-as számjegy végtelen sokszor ismétlődik. Ezt az egyenlőséget hárommal szorozva adódik a 0,999… = 1 egyenlőség.

Minden 3-as számjegy 3-mal szorzódik, így lesz belőle 9, ezért 3 × 0,333… = 0,999… (nincs átvitel), és 3 × <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> = 1, tehát <math>0,999\dots = 1</math>.<ref name="CME">Vö. Ugyanezzel az érveléssel kettes számrendszerben: {{CitLib|aut=Silvanus P. Thompson|tit=Calculus made easy|loc=New York|red=St. Martin’s|ann=1998|isbn=0-312-18548-0}}</ref>

A bizonyítás egy másik változata az <sup>1</sup>/<sub>9</sub> = 0,111… egyenletet szorozza 9-cel.

{| style="wikitable"
|
<math>
\begin{align}
0,333\dots &= \frac{1}{3} \\
3 \times 0,333\dots &= 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\
0,999\dots &= 1
\end{align}
</math>
| width="50px"|
| |

<math>
\begin{align}
0,111\dots &= \frac{1}{9} \\
9 \times 0,111\dots &= 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\
0,999\dots &= 1
\end{align}
</math>
|}

Ugyanennek a bizonyításnak egy könnyített változata <sup>9</sup>/<sub>9</sub> = 1, és <sup>9</sup>/<sub>9</sub> = 0,999…, mivel <sup>1</sup>/<sub>9</sub> = 0,111… Az egyenlőség [[tranzitív reláció|tranzitivitása]] miatt 1 = 0,999…

Ez az okoskodás hallgatólagosan feltételezi, hogy a végtelen tizedes törtekkel ugyanúgy kell szorozni, mint a végesekkel: itt például bizonyítás nélkül elfogadjuk, hogy a

<math>
\begin{align}
9 \times 0,1 &= 0,9 \\
9 \times 0,11 &= 0,99 \\
9 \times 0,111 &= 0,999 \\
9 \times 0,1111 &= 0,9999 \\
\end{align}
</math>

típusú azonosságokból következik, hogy

<math>9 \times 0,111\dots = 0,999\dots</math>

===== Számjegy-manipuláció =====

A bizonyítás egy másik módja azt a tényt használja ki, hogy 10-zel szorozva a jegyek nem változnak, csak a tizedesvessző mozdul el, és hallgatólagosan feltételezi, hogy ez a szabály a végtelen tizedes törtekre is érvényes. Ezért 10 × 0,999… = 9,999…, ami 9-cel nagyobb az eredeti számnál.

A 9,999… – 0,999… kivonás jegyről jegyre végezhető el, és 9 – 9 = 0 minden, a tizedesvessző utáni jegyre fennáll. Így a művelet eredménye 9.

Most felírunk egy egyenletrendszert, és megoldjuk 0,999…-re. Nevezzük ezt a számot ''c''-nek.
Az egyenlet így néz ki: 10''c'' – ''c'' = 9.
Ez lényegében ugyanaz, mint 9''c'' = 9. Ezt 9-cel osztva ''c'' = 1.<ref name="CME" />

Egyenletek sorozatával felírva

: <math>

\begin{align}
x &= 0,999\ldots \\
10 x &= 9,999\ldots \\
10 x - x &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\
9 x &= 9 \\
x &= 1 \\
0,999\ldots &= 1
\end{align}
</math>

==== Valós analízis ====

A 0,999…-re vonatkozó kérdés valójában nem érinti az [[matematikai analízis|analízis]] megalapozási problémáit, valós számok bevezetéséhez nincs szükség [[tizedestört]]-előállításra, így az ezzel a kérdéssel való foglalkozás a matematika szokásos felépítésében sokáig halogatható. Előbb-utóbb azonban elkerülhetetlen, hogy az analízis definiálja a valós számok tizedestört alakját. Ezen olyan

: <math>b_0,b_1b_2b_3b_4b_5\dots</math>

szimbólumsorozatot értünk, melyben ''b''<sub>0</sub> jelöli a szám [[egészrész]]ét, a törtrészt pedig a

: <math>(b_1;b_2;b_3;\dots;b_n;\dots)\,</math>

végtelen, tizedesjegyekből álló sorozat elemei reprezentálják. A [[tizedesvessző]] az egész- és a törtrészt választja el. A 0,999… vizsgálatánál eltekinthetünk a negatív egészrész esetétől, sőt akár magától az egészrésztől is. Világos, hogy:

* a törtrészben végtelen sok jegy is lehet,
* a jelölés helyiértékes, azaz például az 5 az 500-ban [[10 (szám)|tízszer]] annyit ér, mint az 50-ben, és 0,05-ben tízszer annyit ér, mint 0,005-ben.

===== Végtelen sorozatok és sorok =====

A végtelen tizedestörteket többnyire végtelen sorok összegeként vezetik be. Általános esetben a tizedestört alak által kijelölt szám értéke:

: <math>b_0 , b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .</math>

Mivel a 0,999…-ben a tizedesjegyek mind azonosak, ezért az előbbi képlet kiszámításához elegendő a mértani sorokról szóló tételhez fordulnunk. Eszerint, ha ''a'' tetszőleges [[Valós számok|valós szám]], amely a [[mértani sor]] kezdőeleme és |''r''| < 1 szám, akkor

: <math>a+ar+ar^2+ar^3+\cdots = a\cdot\frac{1}{1-r}.</math>

Jelen esetben a sor az előbbi második tagjánál kezdődik:

: <math>ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}</math>

A 0,999… esetén ''a'' = 9 és ''r'' = <math>\scriptstyle{\frac{1}{10}}</math>, ezért a képlet ekkor

: <math>0,999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,</math><ref name="autogenerated3">Rudin p. 61, Theorem 3.26; J. Stewart p. 706</ref>

Ez a bizonyítás (pontosabban a 9,999… = 10 bizonyítása) [[Leonhard Euler]] 1770-es ''Az algebra elemei'' című munkájában is szerepel.<ref>Euler 170. o.</ref>

Felhasználtuk azt a '''tételt''', ami szerint, ha (''a''<sub>''n''</sub>) konvergens [[sorozat (matematika)|számsorozat]], és határértéke ''a'', akkor tetszőleges <math>c \in \mathbb R</math>-re a ''ca''<sub>''n''</sub> sorozat is konvergens, és [[határérték]]e ''ca''.

Ennek ''bizonyításához'' először tekintsük azt a speciális esetet, amikor ''a'' = 0.

Legyen ε tetszőleges pozitív szám, és ''K'' > |''c''| pozitív szám. (''a''<sub>''n''</sub>) tart a nullához, ezért ε /''K'' -hoz van egy [[elegendően nagy|elég nagy]] ''N'' szám, hogy ha ''n>N'', akkor |''a''<sub>''n''</sub>| < ε ''/K''. Eszerint minden ''n>N''-re |''(ca)''<sub>''n''</sub>| = |''ca''<sub>''n''</sub>| < ''K''ε /''K''=ε, és ezzel ''ca''<sub>''n''</sub> szintén a nullához tart.

Ha ''a'' nem nulla, akkor a sorozat minden tagjából levonunk ''a''-t, így olyan (''a''<sub>''n''</sub> – ''a'') sorozatot kapunk, amelynek határértéke nulla. A speciális eset szerint, ha ''c''-vel szorozzuk, akkor is tart a nullához, ezért ''c''(''a''<sub>''n''</sub> – ''a'') = (''ca''<sub>''n''</sub> – ''ca'') határértéke nulla, tehát a ''ca''<sub>''n''</sub> sorozat ''ca''-hoz tart.<ref>Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel pp. 204, 210;</ref>

Hasonlók tudhatók két sorozat összeadásáról és kivonásáról is. Itt mindkét sorozatban elmegyünk addig, amíg ε / 2 -nél közelebb kerülünk a határértékhez. Megnézzük, melyikben nagyobb a küszöbszám. Ez a küszöb jó lesz az összegsorozathoz és az ε számhoz.

Ezzel a tétellel bizonyítható a számjegy-manipuláció és a törtekkel való bizonyítás helyessége is.

[[Fájl:base4 333.svg|balra|bélyegkép|200px|Példa sorozathatárértékre. A [0;1] intervallum a ''négyesalapú'' (0,3; 0,33; 0,333; …) 1-hez konvergáló ''negyedestört'' sorozattal. Ebben a számrendszerben 1 = 0,333… .]]

A mértani sor összegére vonatkozó eredmény Eulernél sokkal korábbi. Már [[Pergai Apollóniosz|Apollóniosz]] is használta a [[parabola (görbe)|parabolaszelet]] [[terület (matematika)|területének]] meghatározására. A 18. században a [[derivált|deriválásokat]] tipikus módon a sorokkal végzett tagonkénti műveletekkel végezték úgy, ahogy ennek a szócikknek az algebrai megoldásokat részletező szakaszában bemutattuk. Bonnycastle 1811-es ''An Introduction to Algebra'' című tankönyvében már felvonultatja a 0,999…-ra vonatkozó állítás mértani sorral történő bizonyítását.<ref>Grattan-Guinness p. 69; Bonnycastle p. 177</ref> A 19. században pontosították a sorösszeg fogalmát, oly módon, ahogy az ma szokásos: a sor összege nem más, mint egy sorozat részletösszegei sorozatának határértéke. A határérték szigorú fogalmára hivatkozó [[Matematikai bizonyítás|bizonyítás]] szerepel például Rudin könyvében.

Bővebben. A (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …) sorozat határértéke az ''x'' szám, ha az |''x''<sub>n</sub> – ''x''| távolság tetszőlegesen kicsivé válik, amint az ''n'' [[elegendően nagy]]. A 0,999…&nbsp;=&nbsp;1 kijelentés megfogalmazható a határérték felhasználásával és igazolható is:

: <math>0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,</math><ref>A határérték következik például Rudin p. 57, Theorem 3.20e.-ből. Direktebb megközelítéshez lásd Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).</ref>

Az utolsó lépésnél – hogy lim <sup>1</sup>/<sub>10<sup>''n''</sup></sub> = 0 – gyakran hivatkoznak a valós számok arkhimédészi tulajdonságára, azaz arra, hogy minden valós számnál van nagyobb természetes szám (amiből következik, hogy <sup>1</sup>/<sub>n</sub> minden pozitív valós számnál kisebbé válik, ahogy az <sup>1</sup>/<sub>10<sup>''n''</sup></sub> is).

==== Egymásba skatulyázott intervallumok és legkisebb felső korlátok ====

[[Fájl:999 Intervals C.svg|jobbra|bélyegkép|250px|Egymásba skatulyázott intervallumok: 3-as számrendszerben 1 = 1,000… = 0,222…]]

A sorösszeggel történő [[definíció]] lehetőséget nyújt arra, hogy definiáljuk azt a valós számot, melyet a tizedestört-előállítás meghatároz. Ezzel ellenkező szemlélet, hogy egy adott valós számhoz definiálunk egy olyan tizedestört alakot, amely megnevezi.

Tegyük fel, hogy az ''x'' valós számról azt tudjuk, hogy a [0; 10] intervallumba esik. Felírjuk egy tizedes előállítását.

* A [0; 10] intervallumot feloszthatjuk 10 részre úgy, hogy a végpontok fedjék egymást. Az ''x'' szám tehát az
*: <math>[0; 1], \quad [1; 2], \quad [2; 3], \dots, \quad [9; 10]</math>

zárt intervallumok egyikébe biztosan beleesik. Tegyük fel, tudjuk, hogy a [2; 3]-ban van. Ekkor rögzítsük a ''b''<sub>0</sub> = 2 számot, mint tizedestört alakban az egész számot.

* A [2; 3] intervallumot osszuk tovább: [2; 2,1], [2,1; 2,2], …, [2,8; 2,9], [2,9; 3]. Ekkor ''x'' ezek valamelyikébe esik, mondjuk a [2,8; 2,9]-be. Rögzítsük a ''b''<sub>1</sub> = 8-as számjegyet, mint az első számjegyet.
* Az eljárást folytatva egymásba skatulyázott intervallumok végtelen sorozatát kapjuk, amelyeket a jegyek végtelen sorozata címkéz: ''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>3</sub>, …, ami így írható:
: ''x'' = ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>…

Ezt az eljárást szem előtt tartva, az, hogy 1 egyaránt lehet 1,000… és 0,999…, annak a következménye, hogy az 1 szám eleme mind a [0;1], mind az [1;2] intervallumnak, így az eljárás első lépésében akármelyiket választhatjuk az 1 tizedestört előállítására. Az eljárás helyességéhez azt kell megmutatnunk, hogy a tizedestört-előállítás egyetlen valós számra mutat. Ezt meg lehet oldani határértékkel, de más konstrukciók a rendezést használják.<ref name="autogenerated4">Beals p. 22; I. Stewart p. 34</ref>

Nyílegyenes választás a beágyazott intervallumok tétele, amely kimondja, hogy egymásba ágyazott zárt intervallumok végtelen sorozatának egy közös pontja van. Így ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>… az a szám, amely benne van a {''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>0</sub>.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>, …} intervallumok mindegyikében.

Ez a tétel a valós számok egy még alapvetőbb tulajdonságán nyugszik: a legkisebb felső korlátok, azaz a szuprémumok létén. Ehhez definiálni kell ''b''<sub>0</sub>-t a ''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>… [[approximáció|approximáló sorozat]] legkisebb felső korlátjaként. Látható, hogy ez az eljárás konzisztens a felosztási folyamattal, amiből ismét következik, hogy 0,999… = 1.

<blockquote>
Az, hogy egy valós számnak két különböző tizedestört alakja lehet, csupán annak a következménye, hogy van két, valós számokból álló halmaz, amelynek ugyanaz a legkisebb felső korlátja.<ref name="autogenerated10">Apostol p. 12</ref>
</blockquote>

==== Valós számok ====
Más megközelítések a valós számokat a [[racionális számok]] fölötti [[Matematikai struktúra|struktúraként]] tekintik. Az axiomatikus [[halmazelmélet]] szerint a [[0 (szám)|0]]-val kezdődő [[természetes számok]] mindegyikének van rákövetkezője. Az így definiált természetes számok ellentettjeikkel együtt kiadják az egész számokat, és ezek hányadosai pedig a racionális számokat. Ezeken a számkörökön belül aritmetikai [[művelet]]ek is végezhetők: ezek a számok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók, oszthatók egymással. Sőt, [[Rendezett halmaz|rendezett]] struktúrákat adnak, így az egyik szám összehasonlítható egy másikkal, és nemcsak azt lehet megkérdezni, hogy egyenlőek-e, hanem lehet az egyik kisebb vagy nagyobb a másiknál.

Az előzőknél jóval nagyobb kiterjesztés a racionális számokról a valósakra áttérni. Többféle lehetőség is kínálkozik erre, ezek közül kettőt 1872-ben publikáltak: a Dedekind-szeleteket és a Cauchy-sorozatokat. A valós analízisről szóló jegyzetek nem tartalmazzák a 0,999… = 1 direkt bizonyítását, inkább az analízis [[axióma|axiómáival]] foglalkoznak. A legtöbb konstrukciónak az a célja, hogy bemutassa vagy igazolja a valós számok axiómáit, amelyek a fenti bizonyításokat támogatják. Néhány szerzőnek viszont az az ötlete, hogy elsőre a konstrukciókat mutassák be, mert úgy logikusabb a felépítés, és a végeredmények függetlenebbek.<ref name="autogenerated9">A történelmi szintézis Griffiths és Hilton (p. xiv) nevéhez fűződik, 1970-ben, és Pugh (p. 10) 2001-ben; mindkettő előnyben részesíti a Dedekind-szeleteket az axiómákhoz képest. A szeletekhez lásd Pugh p. 17-et vagy Rudin p. 17-et; a logikához Pugh p. 10-et, Rudin p. ix-et vagy Munkres p. 30-at.</ref>

===== Dedekind-szeletek =====
A [[Dedekind-szelet]]eket használó megközelítés szerint minden valós szám a nála kisebb racionális számok halmaza.<ref>Enderton p. 113</ref> Speciálisan, az 1 azoknak a racionális számoknak a halmaza, amelyek kisebbek 1-nél.<ref>Pontosabban, Rudin, Richman, és Enderton ezt a szeletet 1*, 1<sup>‒</sup>, és 1<sub>''R''</sub> szeletnek nevezi, amelyek mindegyike azonos az 1 valós számmal. Jegyezzük meg, hogy amit Rudin és Enderton Dedekind-szeletnek nevezett, azt Richman nem principális Dedekind-szeletnek hívta. Rudin pp. 17–20, Richman p. 399 vagy Enderton p. 119.</ref> Minden pozitív tizedestört meghatároz egy Dedekind-szeletet: azoknak a véges tizedestörteknek a halmazát, amelyek levágással kaphatók belőle. Így a 0,999… valós szám tekinthető az olyan ''r'' valós számok halmazának, amelyekre ''r'' < 0 vagy ''r'' < 0,9 vagy ''r'' < 0,99 vagy ''r'' kisebb, mint egy <math>\begin{align}1-(\tfrac{1}{10})^n\end{align}</math> alakú szám. 0,999… összes eleme kisebb, mint 1,<ref name=autogenerated2>Richman p. 399</ref> így eleme az 1 valós számnak. Visszafelé, az 1 elemeire <math>\begin{align}\tfrac{a}{b}<1\end{align}</math>, amiből <math>\begin{align}\tfrac{a}{b}<1-(\tfrac{1}{10})^b\end{align}</math>. Mivel 0,999… és 1 ugyanazokat az elemeket tartalmazza, ezért a két halmaz, így a két szám egyenlő.

===== Cauchy-sorozatok =====
A valós számok konstrukciójának egy másik módja a [[Cauchy-sorozat]]okat használja.

Először is ''x'' és ''y'' [[távolság]]át az |''x''&nbsp;‒&nbsp;''y''| értékkel definiálja, ahol |''z''| a szokott értelemben vett [[abszolútérték-függvény]]. A továbbiakban a megközelítés ezt a távolságmértéket használja.<ref name="autogenerated1">Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p. 386</ref>

A sorozatokat leképezésként értelmezi a pozitív egészek halmazáról a valós számok halmazába, ahol is ''n''-nek a sorozat ''n''-edik eleme felel meg.
A valós számokat Cauchy-sorozatokként definiálja, ahol is két sorozatot egyenlőnek tekint, ha az (''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;‒&nbsp;''y''<sub>''n''</sub>) sorozat határértéke 0.

Ebben a megközelítésben azt kell bizonyítani, hogy az

: 1 – 0, 1 – (9 / 10), 1 – (99 / 100), … = 1, (1 / 10), (1 /100), …

sorozat határértéke 0.
A sorozat ''n''-edik tagját tekintve elég megmutatni, hogy:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{10^n} = 0.</math> Ez pedig nyilvánvaló, hiszen a 0,1 < 1 hányadosú mértani sor határértéke véges.

A Cauchy-sorozatokat használó definíciót elsőként [[Eduard Heine]] és [[Georg Cantor]] publikálta, mindketten 1872-ben.<ref name="autogenerated11">A tizedes kifejtések fenti megközelítése a 0,999… = 1 bizonyításával együtt Griffiths & Hilton 1970 ''A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation'' című művét követi. Griffiths & Hilton pp. viii, 395</ref>

==== Általánosítások ====
A 0,999… = 1 állítás és bizonyításai többféleképpen is általánosíthatók.

# A nem nulla véges tizedestörtként felírható számoknak van egy másik alakjuk is, amely végtelen sok 9-cel végződik. Például 0,24999… = 0,25 a speciális esethez hasonlóan. Az ilyen számok halmaza sűrű.<ref name="autogenerated7">Petkovšek p. 408</ref>
# Másrészt a [[tízes számrendszer]]beli esethez hasonlóan minden [[számrendszer]]ben felvetődik ugyanez a kérdés. [[Kettes számrendszer]]ben 0,111… = 1, és hármas számrendszerben 0,222… = 1. A valós analízisről szóló könyvek rögtön ezzel az általánosítással foglalkoznak, és a kettes és a hármas számrendszerből hoznak példákat.<ref name="autogenerated8">Protter és Morrey p. 503; Bartle and Sherbert p. 61</ref>

Az 1 alternatív reprezentációja a nem egész alapú számrendszerekben is megjelenik. Például abban a számrendszerben, amelynek <math>\phi</math>, az [[aranymetszés]]i arány az alapja, az 1 két lehetséges reprezentációja 1,000… és 0,101010…; de végtelen sok olyan reprezentáció is van, amelyben szomszédos 1-esek is vannak. Sőt, majdnem minden 1 és 2 közötti számra 1-nek megszámlálhatatlanul sok kifejtése van. Másrészt megszámlálhatatlanul sok olyan alap van, amire az 1-nek csak egy másik kifejtése van az adott alapra nézve.
Ezt az eredményt elsőként magyar matematikusok látták be, mégpedig [[Erdős Pál]], [[Horváth Miklós (matematikus)|Horváth Miklós]] és [[Joó István]] 1990 körül. 1998-ban [[Komornik Miklós]] és [[Paola Loreti]] meghatározta a legkisebb ilyen bázist, 1,787231650…-t; ahol is fennáll 1 = 0,11010011001011010010110011010011…; a jegyeket a Thue–Morse-sorozat adja, ez a felírás pedig nem periodikus.<ref name="autogenerated5">Komornik és Loreti p. 636</ref>

Egy még messzebb menő általánosítás a még általánosabb helyi értékes számrendszerekről szól. Ezekben is többféle reprezentáció létezik, és a nehézségek is ezzel együtt nőnek. <!-- ? -->

A kiegyensúlyozott hármas számrendszerben (ahol a jegyek 0, +1, -1), <sup>1</sup>/<sub>2</sub> = 0,111… = 1,<u>111</u>….

A faktoriális számrendszerben 1 = 1,000… = 0,1234….

Marko Petkovšek belátta, hogy a helyi értékes rendszerek használatának szükséges következménye a többféle számábrázolás. Minden, az összes valós számot ábrázoló számrendszerben sűrű azoknak a valós számoknak a [[Halmaz (matematika)|halmaz]]a, amelyek többféleképpen is reprezentálhatók.<ref name="autogenerated12">Petkovšek pp. 410–411</ref>

=== Alkalmazásai ===
Az egyik alkalmazás az elemi [[számelmélet]]hez tartozik. 1802-ben H. Goodwin publikálta megfigyelését a végtelen szakaszos tizedestörtekről. Ha a tört nevezője a [[prímszámok]] egy bizonyos részéhez tartozik, akkor efféle dolgok történnek:

* <sup>1</sup>/<sub>7</sub> = 0,142857142857… és 142 + 857 = 999.
* <sup>1</sup>/<sub>73</sub> = 0,0136986301369863… és 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy egy ennél általánosabb tételt, Midy tételét bizonyította be 1836-ban. A publikáció homályos volt, és tisztázatlan, hogy használta-e a 0,999…-ről szóló eredményt, de W. G. Leavitt egy modern bizonyítása igen. Ha bizonyítható, hogy a 0,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>… végtelen tizedestört egész szám, akkor ennek a 0,999…-nek kell lennie, ami a tételben szereplő 9-esek forrása.<ref>Leavitt 1984 p. 301</ref>

[[Fájl:Cantor base 3.svg|jobbra|bélyegkép|Az <sup>1</sup>/<sub>4</sub>, ²/<sub>3</sub>, és az 1 helye a Cantor-halmazban]]

Az ez irányú próbálkozások motiválhatják a [[legnagyobb közös osztó]], a moduláris aritmetika, a [[Fermat-prímek]], a [[Rendezett halmaz|rendezés]], a [[csoportelmélet|csoport]] és a kvadratikus reciprocitás fogalmának megértését.<ref>Lewittes pp. 1–3; Leavitt 1967 pp. 669, 673; Shrader-Frechette pp. 96–98</ref>

Visszatérve a valós analízisre, a 3-as számrendszerbeli analóg 0,222… = 1 kulcsszerepet játszik a legegyszerűbb [[fraktál]]ok egyikében, a [[Cantor-halmaz]]ban:

* Az egységintervallumba eső szám akkor és csak akkor eleme a Cantor-halmaznak, ha felírható a hármas rendszerben csak a 0 és a 2 jegyek használatával.

A felírás ''n''-edik jegye a pont helyére utal a konstrukció ''n''-edik lépésében. Például a ²⁄<sub>3</sub> a megszokott 0,2 vagy 0,2000… alakjában van adva, mert az első törléstől jobbra és az összes törléstől balra fekszik. Az <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> nem 0,1-ként, hanem 0,0222… -ként van reprezentálva, mert az első törléstől balra és az összes törléstől jobbra fekszik.<ref>Pugh p. 97; Alligood, Sauer, és Yorke pp. 150–152. Protter és Morrey (p. 507) és Pedrick (p. 29) gyakorló feladatként jelöli ezt a leírást.</ref>

A kilencesek Cantor más munkáiban is visszatérnek. Az egységintervallum pontjainak megszámlálhatatlanságát a Cantor-féle átlós eljárással is bizonyítani lehet. A bizonyításnak el kell kerülnie az olyan párokat, mint amilyen 0,2 és 0,1999… . Egy egyszerű módszer minden számot végtelen tizedestört alakba ír, tehát a véges tizedestörtekkét felírható számokat is így adja meg. Egy másik módszer kikerüli a végtelen szakaszos kilenceseket.<ref>Maor (p. 60) és Mankiewicz (p. 151) az előbbi módszerhez; Mankiewicz Cantornak tulajdonítja, de az eredeti forrás tisztázatlan. Munkres (p. 50) említi az utóbbi módszert.</ref> Cantor eredeti érvelése a kettes számrendszert használja, és a hármas számrendszerbeli felírásokat 2-es számrendszerbe transzformálva a Cantor-halmaz megszámlálhatatlan volta bizonyítható.<ref>Rudin p. 50, Pugh p. 98</ref>

== Az állítás más számkörökben ==
Ámbár a valós számok egy nagyon hasznos számkör, a 0,999… valós számnak tekintése konvenció. Timothy Gowers érvelése szerint a 0,999… = 1 egyenlőség [[konvenció]]:

<blockquote>
Ez azonban nem egy önkényes megállapodás, hiszen elvetése vagy a megszokott [[Számelmélet|aritmetikai]] szabályok elvetését, vagy furcsa új objektumok bevezetését kívánja meg.<ref>Gowers p. 60</ref>
</blockquote>

Definiálhatók új számkörök, melyek más szabályokat használnak, vagy új objektumokat vezetnek be. Ezekben a számkörökben nem mindig működnek a valós számoknál alkalmazott bizonyítások, így újra kell vizsgálni a 0,999… = 1 kérdését, és egyes ilyen számrendszerekben ez az egyenlőség nem teljesül. Mások viszont inkább a valós számok kiterjesztései, mint független alternatívák, és így a 0,999… = 1 egyenlőség továbbra is fennáll.

=== Infinitezimálisok ===

A 0,999… = 1 egyes bizonyításai kihasználják, hogy a standard valós számok arkhimédészien rendezettek: nincsenek nemnulla infinitezimálisok. De vannak nem arkhimédészi rendezett algebrai struktúrák, a valós számok egyes alternatíváit is beleértve. A 0,999… jelentése attól függ, hogy melyik struktúrában tekintjük.

Például a [[duális számok]] magukban foglalnak egy infinitezimális elemet, amit ε jelöl. Ez megfelel a [[komplex számok|komplex testbővítés]] képzetes egységének, kivéve, hogy ε²&nbsp;=&nbsp;0. A duális számokon megadható egy [[lexikografikus rendezés]], amiben ε [[többszörös]]ei nem arkhimédészi elemek lesznek.<ref>Berz 439–442</ref> Jegyezzük meg, hogy a duális számok körében továbbra is teljesül 0,999… = 1, mivel a duális számok a valós számok kiterjesztései. A duális számok között nincs legkisebb pozitív szám, mert ha van ε, akkor van ε/2 is.

A standard valós számoknak léteznek más alternatíváik is. Ezek konstruálhatók a [[toposzelmélet]] segítségével és a többértékű [[matematikai logika|logikával]], vagy speciális esetben a klasszikus logikával. Például vannak olyan konstrukciók, amelyekben az infinitezimális elemeknek nincs reciprokuk.<ref>{{cite paper|url=http://publish.uwo.ca/~jbell/invitation%20to%20SIA.pdf|title=An Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis|author=John L. Bell |year=2003 |format=PDF |accessdate=2006-06-29}}</ref>

A nem standard analízis arról ismert, hogy egy olyan számkörrel működik, ami infinitezimálisok teljes tömbjeit<!-- nem inkább telt mátrixait? --> tartalmazza. Ez lehetőséget ad az analízis egy másfajta megközelítésére, ami talán intuitívabb, mint a standard változat.<ref>A nem standard számok teljesebb leírásához lásd Robinson: ''Non-standard Analysis''.</ref>

A. H. Lightstone 1972-ben foglalkozott a nem standard decimális kifejtésekkel, ahol a (0, 1) kiterjesztett valós számoknak egyértelmű a kiterjesztett decimális kifejtése. A 0,ddd…;…ddd… alakú jegysorozatokat kiterjesztett egész számokkal indexelte. Ebben a formalizmusban a 0,333… -nak két természetes kiterjesztése van:

: 0,333…;…000… nem létezik
: 0,333…;…333…&nbsp;=&nbsp;<sup>1</sup>/<sub>3</sub>, mégpedig egész pontosan.<ref>Lightstone pp. 245–247. Nem vizsgálta a visszatérő kilenceseket a kifejtés standard részében.</ref>

A kombinatorikus számelmélet alternatív valós számokat ad meg, a végtelen kék-piros Hackenbush-stringeket részletes releváns példaként. 1974-ben Elwyn Berlekamp megfeleltette egymásnak a Hackenbush-stringeket és a valós számok kettes számrendszerbeli leírását az adattömörítés által motiválva. Például a LRRLRLRL… Hackenbush-string értéke 0,010101…&nbsp;=&nbsp;<sup>1</sup>/<sub>3</sub>.

Az LRLLL… string, amely 0,111…-t jelent, infinitezimálisan kisebb egynél, a különbségük a [[szürreális számok|szürreális]] <sup>1</sup>/<sub>ω</sub> szám, ahol ω a legkisebb végtelen rendszám. A releváns játszma LRRRR… vagy másként 0,000….<ref>Berlekamp, Conway, és Guy (pp. 79–80, 307–311) 1-et, <sup>1</sup>/<sub>3</sub> -ot, és érinti <sup>1</sup>/<sub>ω</sub>-t. A 0,111…-hez tartozó játék közvetlenül következik Berlekamp szabályából, és ezt tárgyalja {{cite web |url=http://www.maths.nott.ac.uk/personal/anw/Research/Hack/ |title=Hackenstrings and the 0.999… 1 FAQ |author=A. N. Walker |year=1999 |accessdate=2006-06-29 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060616215942/http://www.maths.nott.ac.uk/personal/anw/Research/Hack/ |archivedate=2006-06-16 }}</ref>

=== A kivonás eltörlése ===
A bizonyítás egy másik megkérdőjelezhető pontja az 1&nbsp;‒&nbsp;0,999… kivonás. Ha ez a kivonás nem végezhető el, akkor 0,999… < 1. Léteznek olyan struktúrák is, amelyekben működik az összeadás, de a kivonás nincs értelmezve: ilyenek például a kommutatív félcsoportok, a kommutatív monoidok és a félgyűrűk. Richman két ilyen rendszert tekintett, és belátta, hogy 0,999… < 1.

Először is Richman a nem negatív tizedes számokat végtelen tizedestörtekként definiálta. Megadott egy lexikografikus rendezést és egy összeadási műveletet. Ebben a rendszerben 0,999…&nbsp;&lt;&nbsp;1, mivel 0&nbsp;&lt;&nbsp;1 az első helyen, de minden végtelen ''x''-re, amire 0,999…&nbsp;+&nbsp;''x''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;''x''. Így a tizedes számok körében az összeadás nem mindig megfordítható, és nincs köztük az <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> szám sem. A szorzás bevezetésével a tizedes számok pozitív, teljesen rendezett, kommutatív félgyűrűt alkotnak.<ref>Richman pp. 397–399</ref>

A szorzás definiálásához Richman egy másik rendszert is bevezetett, amit ''D''-szeletnek nevezett. Ez a tizedestörtek Dedekind-szeleteinek halmaza. Rendszerint ez a definíció a valós számokhoz vezet, de a ''d'' tizedestört két szeletet is megenged: (‒∞,&nbsp;''d''&nbsp;) és (‒∞,&nbsp;''d''&nbsp;], ez utóbbi a principális szelet. Ennek eredményeként a valós számok nehezen élnek együtt a tizedestörtekkel. Újra 0,999…&nbsp;<&nbsp;1.

Nincsenek pozitív infinitezimálisok a ''D''-szeletekben, de itt rengeteg negatív [[infinitezimális számok|infinitezimális]] jelenik meg, például 0<sup>‒</sup>, amelynek nincs végtelen tizedestört alakja. Richman arra a következtetésre jutott, hogy 0,999…&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;0<sup>‒</sup>, ahol a „0,999… + ''x'' = 1” egyenletnek nincs megoldása a tizedes számok körében.<ref>Richman pp. 398–400. Rudin (p. 23) ezt az alternatív konstrukciót a racionális számok felett tárgyalja az első fejezet utolsó gyakorlatában.</ref>

=== p-adikus számok ===
Amikor szóba kerül a 0,999…, akkor sokan azt hiszik, hogy van egy utolsó kilences a [[végtelen]]ben. Az 1&nbsp;‒&nbsp;0,999… kivonás eredménye a 0,000…1 pozitív szám, ahol az 1 a végtelenben van. Az intuíció világos: ha a 0,999… utolsó kilenceséhez hozzáadunk egyet, az végigfut, lenulláz minden kilencest és az első helyen 1-et ad. Az ötlet egyebek között azon bukik meg, hogy nincs utolsó kilences a 0,999… számban.<ref>Gardiner p. 98; Gowers p. 60</ref>

Máshol kell keresni a kilencesek egy olyan végtelen sorát, amiben van egy utolsó kilences. [[Fájl:4adic 333.svg|jobbra|bélyegkép|200px|A 4-adikus egészek (fekete pontok), a (3, 33, 333, …) ‒1-hez tartó sorozattal. A 10-adikus analóg …999 = ‒1.]]

A [[p-adikus számok]] egy alternatív számrendszer, amellyel a számelmélet foglalkozik. Miként a valós számok, úgy a p-adikus számok is felépíthetők racionális számok Cauchy-sorozataként. Felfoghatók valós számokként, egy másik metrikában, egy másik helyi értékes rendszerrel. A konstrukció egy nem arkhimédészi metrikát használ, amiben 0 közelebb van ''p''-hez, mint az 1, és ''p<sup>n</sup>'' közelebb van a nullához, mint ''p''. A ''p''-adikus számok [[test (algebra)|testet]] alkotnak, ha ''p'' prím, és [[Gyűrű (matematika)|gyűrűt]], ha összetett, mint amilyen a 10 is. Így a ''p''-adikus számok körében [[művelet]]ek végezhetők, és ehhez nem kellenek [[infinitezimális]]ok.

A 10-adikus számok körében a decimális kifejtések analógja balra folyik. A …999 10-adikus kifejtésben van utolsó kilences, de nincs első. Ha hozzáadunk egyet, akkor ez történik:
1&nbsp;+&nbsp;…999&nbsp;=&nbsp;…000&nbsp;=&nbsp;0, és így …999&nbsp;=&nbsp;‒1.<ref name="Fjelstad11">Fjelstad p. 11</ref>

Egy másik bizonyítás mértani sorokat használ. A …999 által implikált végtelen sor nem [[Konvergencia (matematika)|konvergál]] a szokásos valós metrikában, de a ''p''-adikus metrikában igen. Így használható a formula:

: <math>\ldots999 = 9 + 9(10) + 9(10)^2 + 9(10)^3 + \cdots = \frac{9}{1-10} = -1.</math><ref>Fjelstad pp. 14–15</ref>

A harmadik módszert egy hetedikes találta ki, aki kételkedett tanárának határértékes bizonyításában, hogy (a valós számokon) 0,999…&nbsp;=&nbsp;1, de a tízzel szorzásos bizonyítás arra inspirálta, hogy ugyanezt a másik irányba is elvégezze (a 10-adikus számok körében): ha ''x''&nbsp;=&nbsp;…999, akkor 10''x''&nbsp;=&nbsp; …990, így 10''x''&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;–&nbsp;9, tehát ''x''&nbsp;=&nbsp;–1.<ref name="Fjelstad11" />

Utolsó kiterjesztésként felvetődik még, hogy ha 0,999… = 1, és …999 = –1, akkor …999,999… egyenlő-e nullával. Ennek az egyenlőségnek nincs értelme sem a valós számok, sem a p-adikus számok körében, de kiderül, hogy van értelme, és igaz is, ha bevezetjük a dupla tizedestörteket a valós számok reprezentálására, ahol mind a tizedesvessző előtt, mind azután végtelen sok jegy állhat.<ref>DeSua pp. 901–903</ref>

== Kapcsolódó problémák ==
* [[Zénón paradoxonjai|Zénón paradoxona]] a futóról egy hasonló paradoxon. A futó paradoxona matematikailag modellezhető, és ugyanúgy, mint a 0,999… = 1, a mértani sorok segítségével feloldható. Nincs tisztázva, hogy ez a matematikai felfogás megfelel-e a Zénón által kutatott metafizikai fogalmaknak.
* A matematikai folklórban elterjedt csokipapíros történet:<ref>{{CitLib|aut=Péter Rózsa|tit=Játék a végtelennel|edi=9., jav. kiad.|loc=Budapest|red=Typotex|ann=2004|isbn=978-963-279-092-3}}</ref>

Volt egy [[csokoládé]], amibe reklámcéllal szelvényt is csomagoltak. Tíz ilyen szelvényért egy újabb tábla csokoládét lehetett kapni. Kérdés: hány tábla csokoládét ér egy ilyen tábla csokoládé, teljes csomagolásban?

A csomagolásban van egy tábla csokoládé, és egy szelvény is, amiből tízért lehet egy csokoládét kapni. Tehát ez egy tized csokoládé, a hozzá járó tized szelvénnyel. Ezzel a gondolatmenettel a teljes csomagolásban levő csokoládé értéke

:<math>1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \dots</math>

Másrészt a teljes csomagolásban levő csokoládé értéke egész pontosan <math>\scriptstyle{1\frac{1}{9}}</math>:

A csomagolásban van egy csokoládé, ez 1. Elég azt igazolni, hogy egy szelvény 1/9 csokoládét ér. Kilenc szelvényhez kérve egy csokit, és utólag a tíz (9+1) szelvénnyel fizetve ez is belátható: szelvény nem maradt, és a csoki is ki lett fizetve.<ref>Péter Rózsa: Játék a végtelennel</ref>
* A nullával való osztás is előfordul a 0,999… -ről szóló népszerű vitákban, és szintén nagy figyelmet kap. Majdnem minden modern felépítés definiálatlanul hagyja a nullával való osztást, míg a legtöbb szerző definiálja 0,999… -et. Néhány más rendszer viszont definiálja, mint például a komplex analízis, ahol a végtelennel kibővített komplex síkon ennek semmi akadálya sincs; <sup>1</sup>/<sub>0</sub> tehát definiálható végtelennek.<ref>Példaként lásd J.B. Conway eljárását a Möbius-transzformációkon, pp. 47–57</ref> Valóban, az eredmények mélyek, és sok mérnöki és fizikai problémára alkalmazhatók. Néhány kiemelkedő matematikus amellett érvelt, hogy először egy ilyen definíciót kell bevezetni, és csak aztán kell a számköröket tárgyalni.<ref>Maor p. 54</ref>
* A negatív nulla egy másik redundáns jelenség a számírással kapcsolatban. Az olyan számkörökben, mint például a valós számok, ahol 0 az additív semleges elem, a ‒0" szokásos értelmezése a 0 additív inverze, amiből következik, hogy ‒0&nbsp;=&nbsp;0.<ref>Munkres p. 34, Exercise 1(c)</ref> Néhány tudományos alkalmazás azonban külön pozitív és negatív nullát használ, ahogy a legtöbb elterjedt számítógépes számírási rendszer. Például az egész számok tárolása előjellel és nagyságrenddel, vagy az IEEE floating-point standard szerinti lebegőpontos számok.<ref>{{cite book |author=Kroemer, Herbert; Kittel, Charles |title=Thermal Physics |url=https://archive.org/details/thermalphysics0000kitt |edition=2e |publisher=W. H. Freeman |year=1980 |isbn=0-7167-1088-9 |page=[https://archive.org/details/thermalphysics0000kitt/page/462 462]}}</ref>

== Kulturális vonatkozások ==
Az internet növekedésével a 0,999…-ről szóló viták kiszabadultak az osztálytermekből, és helyet foglaltak a [[hírcsoport]]okban és a fórumokban, még azokban is, amelyeknek elvben semmi közük sincs a matematikához. A <tt>[news:sci.math sci.math]</tt> hírcsoportban népszerű időtöltéssé vált a 0,999…-ről érvelni, és erre a kérdésre a hírcsoport FAQ (gyakori kérdések) fejezetében is kitérnek.<ref>Ahogy Richman (p. 396). megfigyelte. {{cite web |url=http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/ |author=Hans de Vreught | year=1994 | title=sci.math FAQ: Why is 0.9999… = 1? |accessdate=2006-06-29}}</ref> A FAQ foglalkozik az ⅓-dal, a 10-zel való szorzással, a [[határérték]]ekkel és a Cauchy-sorozatokkal.

Az általános érdeklődéssel kísért ''The Straight Dope'' 2003-as kiadása az ⅓-dal és a határértékekkel foglalkozik, és a félreértésekre is kitér.

<blockquote>
''A bennünk levő alsóbbrendű [[Főemlősök|főemlős]] még mindig ellenáll, mondván: a 0,999… nem egy szám, hanem egy sor. Ahhoz, hogy egy számot találjunk, meg kell állítanunk, és akkor már 0,999~ = 1.''

''Ez nonszensz.''<ref>{{cite web |url=http://www.straightdope.com/columns/030711.html |title=An infinite question: Why doesn't .999~ = 1? |date=2003-07-11 |author=[[Cecil Adams]] |work=[[The Straight Dope]] |publisher=[[The Chicago Reader]] |accessdate=2006-09-06 |archívurl=https://web.archive.org/web/20060815010844/http://www.straightdope.com/columns/030711.html |archívdátum=2006-08-15 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060815010844/http://www.straightdope.com/columns/030711.html |archivedate=2006-08-15 }}</ref>
</blockquote>

A ''The Straight Dope'' idéz egy vitát, amely egy olyan üzenőfalról indult, amely leginkább videojátékokról szólt. Ugyanezzel a hévvel a 0,999… kérdése olyan népszerűvé vált a Blizzard Entertainment első hét évében a Battle.net fórumain, hogy Mike Morhaime, a vállalat elnöke sajtótájékoztatót tartott 2004. április 1-jén, hogy 0,999… = 1.

<blockquote>
''Nagy örömmel tölt el bennünket, hogy egyszer s mindenkorra lezárhatjuk ezt a fejezetet. Rengeteg fejfájásnak és aggodalomnak voltunk tanúi, hogy vajon 0,999… egyenlő-e vagy nem egyenlő 1-gyel, és most büszkén állíthatjuk, hogy a következő bizonyíték véglegesen és meggyőzően tárgyalja a kérdést ügyfeleink számára.''<ref>{{cite web |url=http://www.blizzard.com/press/040401.shtml |title=Blizzard Entertainment® Announces .999~ (Repeating) = 1 |work=Press Release |publisher=Blizzard Entertainment |date=2004-04-01 |accessdate=2006-09-03 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070120231911/http://www.blizzard.com/press/040401.shtml |archivedate=2007-01-20 }}</ref>
</blockquote>

Blizzard ezután két bizonyítást is közölt, amelyek a határértékeken és a 10-zel való szorzáson alapultak.

== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}

== Fordítás ==

*{{fordítás|en|0.999...|n=a|4=angol}}
== Források ==
* {{cite book |author=Alligood, Sauer, and Yorke |year=1996 |title=Chaos: An introduction to dynamical systems |url=https://archive.org/details/chaosintroductio0000alli |chapter=4.1 Cantor Sets |publisher=Springer |isbn=0-387-94677-2}}
* {{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |year=1974 |title=Mathematical analysis |url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm |edition=2e |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-00288-4}}
* {{cite book |author=Bartle, R.G. and D.R. Sherbert |year=1982 |title=Introduction to real analysis |url=https://archive.org/details/introductiontore0000bart |publisher=Wiley |isbn=0-471-05944-7}}
* {{cite book |last=Beals |first=Richard |title=Analysis |year=2004 |publisher=Cambridge UP |isbn=0-521-60047-2}}
* {{cite book |author=[[Elwyn Berlekamp|Berlekamp, E.R.]]; [[John Horton Conway|J.H. Conway]]; and [[Richard K. Guy|R.K. Guy]] |year=1982 |title=[[Winning Ways for your Mathematical Plays]] |publisher=Academic Press |isbn=0-12-091101-9}}
* {{cite conference |last=Berz |first=Martin |title=Automatic differentiation as nonarchimedean analysis |year=1992 |booktitle=Computer Arithmetic and Enclosure Methods |publisher=Elsevier |pages=439–450 |url=http://citeseer.ist.psu.edu/berz92automatic.html}}
* {{cite book |last=Bunch |first=Bryan H. |title=Mathematical fallacies and paradoxes |url=https://archive.org/details/mathematicalfall0000bunc |year=1982 |publisher=Van Nostrand Reinhold |isbn=0-442-24905-5}}
* {{cite book |last=Burrell |first=Brian |title=Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference |url=https://archive.org/details/merriamwebstersg00burr |year=1998 |publisher=Merriam-Webster |isbn=0-87779-621-1}}
* {{cite book |last=Conway |first=John B. |authorlink=John B. Conway |title=Functions of one complex variable I |url=https://archive.org/details/isbn_9781461263142 |edition=2e |publisher=Springer-Verlag |origyear=1973 |year=1978 |isbn=0-387-90328-3}}
* {{cite book |last=Davies |first=Charles |year=1846 |title=The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications |publisher=A.S. Barnes |url=https://books.google.com/books?vid=LCCN02026287&pg=PA175}}
* {{cite journal |last=DeSua |first=Frank C. |title=A system isomorphic to the reals |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1960-11_67_9/page/900 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |number=9 |month=November |year=1960 |pages=900–903 |doi=10.2307/2309468}}
* {{cite journal |author=Dubinsky, Ed, Kirk Weller, Michael McDonald, and Anne Brown |title=Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2 |url=https://archive.org/details/sim_educational-studies-in-mathematics_2005_60_2/page/253 |journal=Educational Studies in Mathematics |year=2005 |volume=60 |pages=253–266 |doi=10.1007/s10649-005-0473-0}}
* {{cite journal |author=Edwards, Barbara and Michael Ward |year=2004 |month=May |title=Surprises from mathematics education research: Student (mis)use of mathematical definitions |journal=The American Mathematical Monthly |volume=111 |number=5 |pages=411–425 |url=http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf |doi=10.2307/4145268|format=PDF}}
* {{cite book |last=Enderton |first=Herbert B. |year=1977 |title=Elements of set theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |publisher=Elsevier |isbn=0-12-238440-7}}
* {{cite book |last=Euler |first=Leonhard |authorlink=Leonhard Euler |origyear=1770 |year=1822 |edition=3rd English |title=Elements of Algebra |editor=John Hewlett and Francis Horner, English translators. |publisher=Orme Longman |url=https://books.google.com/books?id=X8yv0sj4_1YC&pg=PA170}}
* {{cite journal |last=Fjelstad |first=Paul |title=The repeating integer paradox |url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_1995-01_26_1/page/11 |journal=The College Mathematics Journal |volume=26 |number=1 |month=January |year=1995 |pages=11–15 |doi=10.2307/2687285}}
* {{cite book |last=Gardiner |first=Anthony |title=Understanding Infinity: The Mathematics of Infinite Processes |url=https://archive.org/details/understandinginf0000gard |origyear=1982 |year=2003 |publisher=Dover |isbn=0-486-42538-X}}
* {{cite book |last=Gowers |first=Timothy|authorlink= William Timothy Gowers|title=Mathematics: A Very Short Introduction |url=https://archive.org/details/mathematicsverys0000gowe |year=2002 |publisher=Oxford UP |isbn=0-19-285361-9}}
* {{cite book |last=Grattan-Guinness |first=Ivor |year=1970 |title=The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann |url=https://archive.org/details/developmentoffo00ivor |publisher=MIT Press |isbn=0-262-07034-0}}
* {{cite book | last=Griffiths | first=H.B. | coauthors=P. J. Hilton | title=A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation | url=https://archive.org/details/comprehensivetex0000grif | year=1970 | publisher=Van Nostrand Reinhold | location=London | isbn=0-442-02863-6|id={{LCC|QA37.2|G75}}}}
* {{cite journal |last=Kempner |first=A.J. |title=Anormal Systems of Numeration |journal=The American Mathematical Monthly |volume=43 |number=10 |month=December |year=1936 |pages=610–617 |doi=10.2307/2300532}}
* {{cite journal |author=Komornik, Vilmos; and Paola Loreti |title=Unique Developments in Non-Integer Bases |journal=The American Mathematical Monthly |volume=105 |number=7 |year=1998 |pages=636–639 |doi=10.2307/2589246}}
* {{cite journal |last=Leavitt |first=W.G. |title=A Theorem on Repeating Decimals |journal=The American Mathematical Monthly |volume=74 |number=6 |year=1967 |pages=669–673 |doi=10.2307/2314251}}
* {{cite journal |last=Leavitt |first=W.G. |title=Repeating Decimals |url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_1984-09_15_4/page/299 |journal=The College Mathematics Journal |volume=15 |number=4 |month=September |year=1984 |pages=299–308 |doi=10.2307/2686394}}
* {{cite web | url=http://arxiv.org/abs/math.NT/0605182 |title=Midy's Theorem for Periodic Decimals |last=Lewittes |first=Joseph |work=New York Number Theory Workshop on Combinatorial and Additive Number Theory |year=2006 |publisher=[[arXiv]]}}
* {{cite journal |last=Lightstone |first=A.H. |title=Infinitesimals |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1972-03_79_3/page/242 |journal=The American Mathematical Monthly |year=1972 |volume=79 |number=3 |month=March |pages=242–251 |doi=10.2307/2316619}}
* {{cite book |last=Mankiewicz |first=Richard |year=2000 |title=The story of mathematics|url=https://archive.org/details/storyofmathemati0000mank_k4e8 |publisher=Cassell |isbn=0-304-35473-2}}
* {{cite book |last=Maor |first=Eli |title=To infinity and beyond: a cultural history of the infinite |url=https://archive.org/details/toinfinitybeyond0000maor |year=1987 |publisher=Birkhäuser |isbn=3-7643-3325-1}}
* {{cite book |last=Mazur |first=Joseph |title=Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truths in Logic and Math |url=https://archive.org/details/euclidinrainfore0000mazu |year=2005 |publisher=Pearson: Pi Press |isbn=0-13-147994-6}}
* {{cite book |last=Munkres |first=James R. |title=Topology |year=2000 |origyear=1975 |edition=2e |publisher=Prentice-Hall |isbn=0-13-181629-2}}
* {{cite conference |last=Núñez |first=Rafael |title=Do Real Numbers Really Move? Language, Thought, and Gesture: The Embodied Cognitive Foundations of Mathematics |year=2006 |booktitle=18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics |publisher=Springer |pages=160–181 |url=http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/web/publications.html |id={{ISBN|978-0-387-25717-4}} |accessdate=2009-08-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110718014351/http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/web/publications.html |archivedate=2011-07-18 }}
* {{cite book |last=Pedrick |first=George |title=A First Course in Analysis |url=https://archive.org/details/firstcourseinana0000pedr |year=1994 |publisher=Springer |isbn=0-387-94108-8}}
* {{cite journal |last=Petkovšek |first=Marko |title=Ambiguous Numbers are Dense |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1990-05_97_5/page/408 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=97 |number=5 |month=May |year=1990 |pages=408–411 |doi=10.2307/2324393}}
* {{cite conference |author=Pinto, Márcia and David Tall |title=Following students' development in a traditional university analysis course |booktitle=PME25 |pages=v4: 57–64 |year=2001 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001j-pme25-pinto-tall.pdf|format=PDF|accessdate=2009-05-03}}
* {{cite book |author=Protter, M.H. and [[Charles B. Morrey, Jr.|C.B. Morrey]] |year=1991 |edition=2e |title=A first course in real analysis |url=https://archive.org/details/firstcourseinrea0000prot |publisher=Springer |isbn=0-387-97437-7}}
* {{cite book |last=Pugh |first=Charles Chapman |title=Real mathematical analysis |year=2001 |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-95297-7}}
* {{cite journal |author=Renteln, Paul and Allan Dundes |year=2005 |month=January |title=Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor |journal=[[Notices of the AMS]] |volume=52 |number=1 |pages=24–34 |url=http://www.ams.org/notices/200501/fea-dundes.pdf|doi=|format=PDF|accessdate=2009-05-03}}
* {{cite journal |first=Fred |last=Richman |year=1999 |month=December |title=Is 0.999… = 1? |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1999-12_72_5/page/396 |journal=[[Mathematics Magazine]] |volume=72 |issue=5 |pages=396–400}} Free HTML preprint: {{cite web |url=http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm |first=Fred |last=Richman |title=Is 0.999… = 1? |date=1999-06-08 |accessdate=2006-08-23 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060203031201/http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm |archivedate=2006-02-03 }} Note: the journal article contains material and wording not found in the preprint.
* {{cite book |last=Robinson |first=Abraham |authorlink=Abraham Robinson |title=Non-standard analysis |url=https://archive.org/details/nonstandardanaly0000robi_h7u8 |year=1996 |edition=Revised |publisher=Princeton University Press|isbn=0-691-04490-2}}
* {{cite book |last=Rosenlicht |first=Maxwell |year=1985 |title=Introduction to Analysis |publisher=Dover |isbn=0-486-65038-3}}
* {{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of mathematical analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3e |year=1976 |origyear=1953 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-054235-X}}
* {{cite journal |last=Shrader-Frechette |first=Maurice |title=Complementary Rational Numbers |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1978-03_51_2/page/90 |journal=Mathematics Magazine |volume=51 |number=2 |month=March |year=1978 |pages=90–98}}
* {{cite book |author=Smith, Charles and Charles Harrington |year=1895 |title=Arithmetic for Schools |publisher=Macmillan |url=https://books.google.com/books?vid=LCCN02029670&pg=PA115}}
* {{cite book |last=Sohrab |first=Houshang |title=Basic Real Analysis |url=https://archive.org/details/basicrealanalysi0000sohr |year=2003 |publisher=Birkhäuser |isbn=0-8176-4211-0}}
* {{cite book |last=Stewart |first=Ian |title=The Foundations of Mathematics |url=https://archive.org/details/foundationsofmat0000stew |year=1977 |publisher=Oxford UP |isbn=0-19-853165-6}}
* {{cite book |last=Stewart |first=James |title=Calculus: Early transcendentals |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew |edition=4e |year=1999 |publisher=Brooks/Cole |isbn=0-534-36298-2}}
* {{cite journal |author=D.O. Tall and R.L.E. Schwarzenberger |title=Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits |journal=Mathematics Teaching |year=1978 |volume=82 |pages=44–49 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf|format=PDF|accessdate=2009-05-03}}
* {{cite journal |last=Tall |first=David |authorlink=David O. Tall |title=Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics |journal=Mathematical Education for Teaching |year=1976/7 |volume=2 |number=4 |pages=2–18 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1976a-confl-catastrophy.pdf|format=PDF|accessdate=2009-05-03}}
* {{cite journal |last=Tall |first=David |title=Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology |journal=Mathematics Education Research Journal |year=2000 |volume=12 |number=3 |pages=210–230 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf|format=PDF|accessdate=2009-05-03}}
* {{cite book|last=von Mangoldt|first=Dr. Hans|authorlink =Hans Carl Friedrich von Mangoldt| title=Einführung in die höhere Mathematik|edition=1st|year=1911|publisher=Verlag von S. Hirzel| location=Leipzig|language=német|chapter=Reihenzahlen}}
* {{cite book |last=Wallace |first=David Foster|authorlink =David Foster Wallace |title=Everything and more: a compact history of infinity |url=https://archive.org/details/everythingmore00davi |year=2003 |publisher=Norton |isbn=0-393-00338-8}}
* {{Cite book| author = Bognárné| coauthors = Nemetz , Tusnády| title = Ismerkedés a véletlennel| series = Középiskolai szakköri füzet}}
* {{Cite book| publisher = Műszaki Könyvkiadó| last = Graham| first = R. L.| coauthors = D. E. Knuth, O. Patashnik| title = Konkrét matematika : a számítástudomány alapja| location = Budapest| year = 1998}}
* {{Cite book| publisher = Műszaki Könyvkiadó| isbn = 963-10-3820-3| author = Kósa András| title = Ismerkedés a matematikai analízissel| location = Budapest| year = 1981}}
* {{Cite book| publisher = KöMaL| author = Kós Géza| title = Hogyan fogjunk oroszlánt?| accessdate = 2009-09-23| url = http://www.komal.hu/cikkek/kg/oroszlan/oroszlan.h.shtml}}
* {{Cite book| publisher = Tankönyvkiadó Vállalat| author = Környei Imre| coauthors = Turán Pál| title = Algebra| location = Budapest| year = 1990}}
* {{Cite book| publisher = HVG könyvek| isbn = 9637525300| last = Mankiewicz| first = Richard| title = A matematika históriája| accessdate = 2009-09-23| year = 2003| url = http://morokonyv.hu/A%20matematika%20hist%C3%B3ri%C3%A1ja/43070/15}}{{Halott link|url=http://morokonyv.hu/A%20matematika%20hist%C3%B3ri%C3%A1ja/43070/15 |date=2018-11 }}
* {{Cite book| author = Pálfalvi Józsefné| title = Matematika didaktikusan| chapter = Valós számok mint végtelen tizedestörtek| accessdate = 2009-09-23| year = 2000| chapterurl = http://www.tankonyvtar.hu/matematika/matematika-didaktikusan-080905-63}}
* {{Cite book| publisher = Typotex| isbn = 963 9132 47 0| author = Péter Rózsa| authorlink = Péter Rózsa| title = Játék a végtelennel| accessdate = 2009-09-23| year = 1999| url = http://mek.oszk.hu/05400/05417}}
* {{Cite book| publisher = Műszaki| last = Rudin| first = Walter| others = Antos Péter, Somogyi Péter, Szabados Tamás (ford.)| title = A matematikai analízis alapjai| location = Budapest| year = 1978}}
* {{Cite book| publisher = Helikon Kiadó Kft| isbn = 9789632271699| last = Stewart| first = Ian| others = Körmendi, Ágnes (ford.)| title = A végtelen megszelídítése| year = 2008}}
* {{Cite book| publisher = Surányi László honlapja| author = Surányi László| title = Bolyai János forradalma| chapter = A valós számok dedekind szeleteiről| accessdate = 2009-09-23| chapterurl = http://home.fazekas.hu/~lsuranyi/BJ/dedekind.htm}}
* {{Cite book| author = Urbán János| authorlink = Urbán János (matematikus)| title = Határértékszámítás. Példatár| publisher = [[Mozaik Kiadó]]}}

== További információk ==
{{Commonskat|1 (number)}}
*[http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/999999.shtml .999999… = 1?] from [[cut-the-knot]] {{en}}
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html Why does 0.9999… = 1 ?] {{en}}
* [https://web.archive.org/web/20150226225642/http://newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99167.htm Ask A Scientist: Repeating Decimals] {{en}}
* [http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/joan2.html Proof of the equality based on arithmetic] {{en}}
* [http://descmath.com/diag/nines.html Repeating Nines] {{en}}
<!-- * [http://www.steve.bush.org/links/humor/pg001185.html Mathematical Gazette joke] -->* [http://qntm.org/pointnine Point nine recurring equals one] {{en}}
* [http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/themes/limits-infinity.html David Tall's research on mathematics cognition] {{en}}
* [http://www.mz-web.de/servlet/ContentServer?pagename=ksta/page&atype=ksArtikel&aid=1209015376906&openMenu=987490165154&calledPageId=987490165154&listid=994342720546 Warum 0,999 Periode nicht kleiner als 1 ist]{{Halott link|url=http://www.mz-web.de/servlet/ContentServer?pagename=ksta%2Fpage&atype=ksArtikel&aid=1209015376906&openMenu=987490165154&calledPageId=987490165154&listid=994342720546 |date=2022-01 }} {{de}}

{{Portál|Matematika}}

{{DEFAULTSORT:0999}}
[[Kategória:Matematikaoktatás]]
[[Kategória:Paradoxonok]]
[[Kategória:Racionális számok]]

[[nl:Repeterende breuk#Repeterende negens]]