Érintő- és szelőszakaszok tétele forrásának megtekintése

[[Fájl:Power point simple.svg|thumb|Érintő- és szelőszakaszok tétele: <math>PT = \sqrt{PM \cdot PN}</math>]]
'''Érintő- és szelőszakaszok tétele:'''
Egy tetszőleges külső <math>P</math> pontból húzott [[Érintő (kör)|érintőszakasz]] hossza megegyezik a <math>P</math> pontból húzott szelőszakaszok (<math>PM, PN</math> vagy <math>PA, PB</math>) mértani közepével. Emiatt a tételt ismerik ''pont körre vonatkozó hatványa'' néven is.

A tételnek nem csak egyes geometriai bizonyításokban van szerepe, hanem az algebrai problémák geometriai megfogalmazása is ezen keresztül fogalmazódhat meg, illetve fordítva. Például ezen tétel segítségével lehet adott szakasz hosszának négyzetgyökét megszerkeszteni, így elvezet a tétel az [[aranymetszés]] problémájáig is.

== Bizonyítás ==

A <math>PTB</math> háromszög hasonló a <math>PTA</math> háromszöghöz, mert a <math>BPT</math> szög megegyezik az <math>APT</math> szöggel, PBT és PTA szögek egyenlők, mivel ugyanahhoz az (AT) ívhez tartozó kerületi ill. érintőszárú [[kerületi szög]]ek. A hasonlóság alapján a megfelelő oldalak aránya megegyezik, azaz
<math>\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}</math>. Ezt az arányt átrendezve a bizonyítandó állítást kapjuk.

==Általánosítás==

A tétel igaz akkor is, ha a <math>P</math> pont belső pont, bár ekkor nincsen érintő. A tétel általános alakja (szelőtétel néven is ismeretes) a következő:

:''Adott kör esetén egy adott <math>P</math> ponton átmenő szelők körrel való metszéspontjainak <math>P</math>-től való távolságainak szorzata állandó''

===Bizonyítás===

Vegyünk fel két szelőt a <math>P</math> ponton keresztül. Legyenek az egyiken a két metszéspont <math>A</math> és <math>B</math>, a másikon <math>A'</math> és <math>B'</math>.

[[Fájl:TheoremOfSlices.svg|thumb|Szelőszakaszok tétele]]

Az <math>AB'P</math> háromszög hasonló az <math>A'BP</math> háromszöghöz, mivel a <math>PAB'</math> szög és a <math>PA'B</math> szög megegyezik, hiszen ugyanahhoz a húrhoz (<math>BB'</math>) tartozó [[külső szög]]ek, valamint a <math>P</math> csúcsnál fekvő szögük megegyezik. Hasonló háromszöge megfelelő oldalainak aránya állandó, így kapjuk
:<math>\frac{PB}{PB'}=\frac{PA'}{PA}</math>,
amiből átrendezéssel adódik az állításunk. QED

Ha az érintőt olyan speciális szelőnek tekintjük, mely esetén a két metszéspont egybeesik, akkor megkapjuk a pont körre vonatkozó hatványának tételét.

== Jegyzetek ==
{{megjegyzések}}

== Források ==
* {{cite book
|title=Az újra felfedezett geometria
|author=H. S. M. Coxeter
|coauthors=S. L. Greitzer
|year=1977
|publisher=Gondolat
|isbn=963 280 512 7
|page=52
}}
* {{cite book
|title=Matematika
|author=[[Gerőcs László]]
|coauthors=Váncsa Ödön
|editors= Bereczky Áron, Csányi Tibor, H. Temesvári Ágota, Katona Dániel, Kós Géza, Lerchner Szilvia, Máté László, Nagy Noémi, Németh László, Szakál Péter, Szűcs Zsolt
|isbn=978 963 05 8488 3
|issn=1787-4750
|publisher=Akadémiai kiadó
|year=2010
|page=232
}}
{{Portál|Matematika}}
{{DEFAULTSORT:Érintőés{{hamis digráf}}szelőszakaszoktétele}}
[[Kategória:Euklideszi geometria]]
[[Kategória:Matematikai tételek]]